第2章素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (苏教版2019)

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 第2章 素养 检测 第2章素养检测 刷速度 2 高中必刷题 主讲老师 1.若方程表示圆，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 4 解析 由题得，解得 . 5 高中必刷题 主讲老师 2.[江苏连云港2023高二月考] 若圆 的圆心位于第三象限，那么直线 一定不经过( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7 解析 圆的圆心为，则，.直线方程 等价 于，因为直线斜率，轴上的截距 ，所以直线不经过第四象限． 8 高中必刷题 主讲老师 3.已知圆与圆相交于， 两点，则两圆的公 共弦 ( ) A A. B. C. D.2 10 解析 根据题意，联立圆和的方程，得所以直线 的方程为 . 所以圆心到直线的距离 ， 所以所截得弦长 .故选A. 11 高中必刷题 主讲老师 4.在平面直角坐标系中，过点向圆 引两条切线， 切点分别为,，则直线 过定点( ) B A. B. C. D. 13 解析 在平面直角坐标系中，过点向圆 引两条 切线，则圆C的半径, 切线长为 . 以点为圆心、切线长为半径的圆的方程为 . 直线的方程为 ,即 令得 直线恒过定点, .故选B. 14 高中必刷题 主讲老师 5.[江苏南京六校2024高二期末] 若直线与曲线 有两个交点，则实 数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 16 解析 直线过定点，曲线与 轴负半轴交于 点 ， 设直线 与曲线（半圆）相切于点C，如图所示. 若直线与曲线有两个交点，则 . ， 若与半圆（圆心，半径 ）相切， 则圆心到直线的距离满足，解得或 （舍），即 ， 所以实数的取值范围为 .故选D. 17 高中必刷题 主讲老师 6.[四川成都树德中学2024高二期中] 已知圆 ，圆 ，,分别是圆,上的动点，为直线 上的动点，则 的最小值为( ) B A.6 B.10 C.13 D.16 19 解析 的圆心为，半径 ， 的圆心为，半径 ， 如图所示，的最小值为 的最小值. 设点关于直线的对称点为 ， 则解得 故，连接 ， 则即为 的最小值， 故的最小值为 ， 故的最小值为 . 故选B. 20 高中必刷题 主讲老师 7.[吉林辽源五中2023高二期中] 过点的直线与圆交于, 两点，当 弦长最短时，直线 的方程为( ) A A. B. C. D. 22 解析 圆的圆心为 ，半径为2. 如图，连接,过点任作一条不垂直的直线交圆C于A，B两点，取A，B中点为D,连接 . 由垂径定理得，则，得 .故 要使最短，需使 最长. 注意到 为直角三角形， 则 ， 23 故当直线时，弦长最短，直线的斜率等于 ， 所以用点斜式写出直线的方程为，即 .故选A. 高中必刷题 主讲老师 8.[福建龙岩2024高二月考] 直线分别与轴、轴交于，两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是( ) A A. B. C. D. 26 解析 直线分别与轴、 轴交于A，B两点， ,,则 . 点在圆 上, 且圆心到直线的距离 ， 故点到直线的距离的范围为 ， 则 . 故选A. 27 高中必刷题 主讲老师 9.[湖南长沙2024高二期中] 若点在圆上，点 在圆 上，则下列说法正确的有( ) BC A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C.两个圆心所在直线的斜率为 D.两个圆的相交弦所在直线的方程为 29 解析 根据题意，圆，其圆心，半径 . 圆，即，其圆心，半径 . 圆心距,两圆外离，则的最小值为 ，最大值为 ，故A错误，B正确. 对于C，已知圆心，圆心，则两个圆心所在直线的斜率 ，C正确. 对于D，因为两圆外离，所以不存在相交弦，D错误.故选 . 30 高中必刷题 主讲老师 10.[江苏盐城中学2023高二月考] 已知圆 上有且仅有两个点到直线 的距离为1，则实数 的可能取值有( ) BC A. B. C.0 D.1 32 解析 圆，即 当时，该方程表示圆心为，半径 的圆. 圆心到直线的距离 ， 则圆心到与直线平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，故 , 解得 . 故选 . 33 高中必刷题 主讲老师 11.[江苏南京金陵中学2024高二期末] 某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外 围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东 方向 处设立观测点 ，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过,,三点的圆为圆，规定圆 及其内 部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标 系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西 方向行驶，则 ( ) BD A.观测点,之间的距离是 B.圆的方程为 C.小汽车行驶路线所在直线的方程为 D.小汽车会进入安全预警区 35 解析 由题意，得,，则 ，即观测点A,B之间的距 离是 ，故A错误； 设圆C的方程为，因为圆C经过 ,A,B三点， 所以 解得 所以圆C的方程为 ，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是 ， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为 ，故C错误； 36 圆C的标准方程为，圆心，半径 ， 圆心C到直线的距离 ， 所以直线与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确.故选 . 高中必刷题 主讲老师 12.若圆的圆心为，点在圆上，则线段的中点 的轨迹方程是 _________________________. 解析 设，由，得，将 的坐标代入圆的方程，得 ，整理得 39 高中必刷题 主讲老师 13.[江苏南京师大附中、天一中学等2023高二联考] 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一 问题的一般描述是已知点，是的边上的两个定点，是边上的动点，当 在何处 时，最大？问题的结论是当且仅当的外接圆与相切于点时， 最大.人们称 这一命题为米勒定理.已知，，，则最大时， ____. 41 解析 由题意得最大时，的外接圆与轴相切，且 为切点， 此时圆心横坐标为，且圆心在线段 的垂直平分线上. 因为，，则的中点坐标为，且 ， 所以线段的垂直平分线为 ， 则圆心，半径为（由三角形三个顶点坐标位置可知 ）. 因为，解得 . 42 高中必刷题 主讲老师 14.[河南焦作2024高二期中] 著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为 , , 的三个圆两两外切，同时又都与半径为 的圆外切，则 .已知，, ，若圆 ,,两两外切，且都与圆外切，其中圆,的半径相等，则圆 的标准方程为 _ _________. 44 解析 设圆,,,的半径分别为,,, ， 由题意可得 解得 又因为 ，即 ，解得 . 由，可知点在线段的中垂线上，即轴上，设 ，则由题意可得 解得，即圆的圆心,，半径，所以圆 的方程为 . 45 高中必刷题 主讲老师 15.（本小题满分13分）已知圆过，两点，且圆心在直线 上. （1）求圆 的方程； 【解】根据题意，设圆的圆心为，半径为 ， 则有 解得 故圆的方程为 . 47 （2）设点是直线上的动点，，是圆的两条切线，， 为切点，求四 边形 面积的最小值. [答案] 根据题意，四边形 的面积 ， 而 ， 当最小时，四边形 的面积最小， 而的最小值为点到直线 的距离， 则 . 故的最小值为 ， 因此四边形面积的最小值为 . 48 高中必刷题 主讲老师 16.（本小题满分15分）已知半径为5的动圆的圆心在直线 上. （1）若动圆过点,求圆 的方程. 【解】依题意,可设动圆的方程为 , 其中圆心满足 . 又因为动圆过点 , 所以 . 由 解得或 故所求圆的方程为或 . 50 （2）是否存在正实数,使得动圆中满足与圆 相外切的圆有且仅有一个?若存在, 请求出 的值;若不存在,请说明理由. [答案] 圆的圆心到直线的距离 . 当满足时,动圆中不存在与圆 相外切的圆; 当满足时, 每取一个数值, 动圆中存在两个圆与圆 相外切; 当满足,即 时, 动圆中有且仅有1个圆与圆 相外切. 故当动圆中与圆相外切的圆仅有一个时, . 51 高中必刷题 主讲老师 17.（本小题满分15分）[浙江宁波2024高二期中] 已知圆的圆心为，且圆 ____.在下列所 给的三个条件中任选一个，填在横线上，并完成解答. ①与直线 相切； ②与圆 相外切； ③经过直线与直线 的交点. （1）求圆 的方程. 53 【解】设圆的半径为 . 若选条件①，圆与直线 相切， 则圆心到直线的距离是圆的半径，即，所以圆 的方程为 . 若选条件②，圆与圆相外切，圆的圆心为 ，半径为2， 所以，所以，所以圆的方程为 . 若选条件③，圆经过直线与直线 的交点， 由得所以 ， 所以圆的方程为 . 54 （2）圆，是否存在实数，使得圆与圆 公共弦的长度为2?若 存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 55 [答案] 圆的圆心为，半径为 ， 两个圆有公共弦，则，即，解得 . 由得,两圆公共弦所在直线的方程为 , 又两圆的公共弦长为2，则圆心 到公共弦所在直线的距离为 ， 且 ， 解得或 ， 又，所以 .经检验符合题意. 故存在实数，使得圆与圆 公共弦的长度为2. 56 高中必刷题 主讲老师 18.（本小题满分17分）[河南焦作2024高二月考] 某湿地公园内有一直角梯形区域 ，，，.相关部门欲在， 两处各建一个 景点，将 边建成人行步道（人行步道的宽度忽略不计）. （1）若分别以，为圆心的两个圆都与直线相切，且这两个圆外切，求， 两 点之间的距离. 【解】因为分别以，为圆心的两个圆都与直线相切，所以这两个圆的半径分别为 和 ，又因为两个圆外切，所以两个圆心，之间的距离为,故， 两 点之间的距离为 . 58 （2）若，今欲在人行步道（线段）上设一观景台，已知观景台在过， 两 点的圆与直线相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，问观景台 设在何处时，观赏和拍 摄的效果最佳？ 59 [答案] 以为原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，建立平面直角坐 标系如图所示. 则，设 ， 由，得 ，解得 . 所以， . 因为观景台在过，两点的圆与直线相切的切点处，所以设过， 两点的圆的方程为 ，已知此圆与线段切于点，则 ， 由，两点在圆上，把两点的坐标代入得 60 解得或 （舍）. 所以圆的方程为，所以切点为，即观景台应设在梯形的顶点 处.所 以观景台设在 处时，观赏和拍摄的效果最佳. 高中必刷题 主讲老师 19.（本小题满分17分）[江苏扬州2024高二期初调研] 已知圆经过, , 三点． （1）求圆 的方程． 【解】设圆的方程为 ， 则解得 则圆的方程为 ． 63 （2）已知直线与圆交于，（异于点）两点，若直线,的斜率之积为2，试问直线 是 否经过定点？若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由． 64 [答案] 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为, , ， 则，整理得 ． 又，解得，所以直线的方程为，此时 经过点 ，不符合题意． 所以直线的斜率存在，设直线的方程为,, ， 联立方程整理得 ， 则,, ． 65 所以 ，则 ， 整理得,即，解得 或 ． 当时，直线的方程为，此时直线经过点 ，不符合题意，故舍去． 所以，故直线的方程为，即，经过定点 ． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为 ． 66 $$