专题1 空间中的动点问题-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教B版2019)

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.2 1.2 空间向量在立体几何中的应用 2 1.2 专题1 空间中的动点问题 刷难关 3 1.[江西上饶2024高二期中] 如图，在棱长为3的正方体中， 为 线段 上的动点，则下列结论错误的是( ) C A.当时， B.当时，点到平面 的距离为1 C.直线与所成的角可能是 D.若二面角的平面角的正弦值为，则或 4 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,,, . 对于A，因为，所以 ，所以 ，故, ，故A正确. 对于B，,，因为，由选项A知 ，所以 ， 设平面的法向量为，则即 令，则, ， 故 ， 5 所以点到平面的距离为 ，故B正确. 对于C，假设直线与所成的角为，设 ，则 ， 所以，又，所以 , ， 整理得，解得 ，矛盾,故假设不成立. 所以直线与所成的角不可能是 ，故C错误. 对于D，,，由选项C设 ，则 ， 设平面，平面的法向量分别为, ， 则 即 分别令,，则,,, ，故 , . 设二面角的平面角为 ，则，故 ， 故由，解得或，即 或 ，故D正确.故选C. 2.（多选）[河南郑州2024高二月考] 如图，四棱锥中，底面 是 正方形， 平面，，，分别是，的中点，是棱 上的动点，则( ) ABD A. B.存在点，使平面 C.存在点，使直线与所成的角为 D.点到平面与平面 的距离和为定值 8 解析 依题意可知,, 两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示的空 间直角坐标系. 设，则,,,, ，设 ，,， , 所以，所以 ，A选项正确. 点到平面与平面的距离和为 ，为定值，D选项正确. 易知，, ， 设平面的法向量为 ， 则令，可得，又 平面 ， 9 要使平面 ， 则 ， 解得，所以存在点，使平面 ，B选项正确. , 若直线与直线所成的角为 ，则 ， 即, ，无实数解，所以C选项错误. 故选 . 3.[广东广州2024高二期中] 三棱锥中，,,两两相互垂直， ， 点为平面内的动点，且满足，则直线与直线 所成角的余弦值的取值范围为 _______． 11 解析 因为,,两两相互垂直，且 ，所以由勾股定理可知 ，所以三棱锥为正三棱锥，记点在底面 内的 射影为.连接,,由，可得，所以 .因为 ，所以，所以点的轨迹是平面内以 为圆心，1为半径的 圆. 取的中点，连接，可知经过点，以 为原点建立如图所示的空间直 角坐标系. 设，，,, ，所以 ,，所以 , . 设直线与直线所成的角为 , 则, . 12 4.[河北石家庄二中2024高二期中] 如图，在四棱锥中， 平面 ，且，为的外心，， . （1）求证：平面 ； 13 【证明】如图所示，连接 ， 因为为的外心，所以，又因为 ， 所以 . 所以 ， 所以,均为等边三角形，所以 ， 四边形为菱形，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 14 （2）若点在线段（不含端点）上运动，设平面 平面，当直线与平面 所 成的角最大时，求二面角 的正弦值. 【解】记 ， 因为， 平面， 平面，所以平面 . 15 又因为平面 平面， 平面，所以 .如图所示， 以为坐标原点，,所在直线分别为, 轴， 过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.因为 ，所以 ， 则, , ,,,,0,, ， 所以,, , ,, . 因为点在线段（不含端点）上运动，设 ， 所以,, . 16 设平面的法向量为，则有 所以 令，则，所以 ， 设直线与平面所成的角为 ， 则, ， 当且仅当，即时取等号，即为中点时，直线与平面 所成 的角最大， 所以.又, . 设平面的法向量为 ， 则有 即 令，则,，所以 . 所以, ， 设二面角的平面角为 ， 则, ， 所以二面角的正弦值为 . 5.[2024THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试] 已知四棱锥 中，底 面是矩形，，，是 的中点． （1）证明： ； 20 【证明】取的中点，连接,，因为,分别为,的中点，所以 .又 ，所以 . 记直线与直线的交点为 ， 因为，所以， ， 所以，则有，故 . 设，则， ， 所以，且， ， 所以，所以 . 又因为，, 平面，所以 平面 ， 又 平面，故 . 21 （2）若，，点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为 ，求 ． 【解】因为，,,且, 平面 ,所以 平面, 又 平面,所以.又，故以 为坐标原点，,,所在直线分别 为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 22 因为，所以,,, , ， 则， . 设平面的法向量为 ， 则取，则 . 23 设，其中 ， . 因为直线与平面所成角的正弦值为 ， 所以,，解得，故 . $$