第1章素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教B版2019)

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1 第一章素养检测 刷速度 2 1.[山东青岛2024高二月考] 以下说法中，不正确的个数为( ) ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数 ，使得 ；③若，，则；④若，，为空间的一个基底，则 ， ，构成空间的另一个基底； . C A.2 B.3 C.4 D.5 3 解析 ①中为充分不必要条件；②中；③显然不成立;④中,,不共面，则,, 也不共面，故④正确;⑤中, . 4 2.[北京北师大附中2023高二期中] 已知直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为 ，平 面 的一个法向量为 ，则下列说法正确的是( ) A ①若, ，则与 所成的角为 ； ②若与 所成角为 ，则, ； ③若, ，则平面 与 所成的锐二面角为 ； ④若平面 与 的夹角为 ，则, . A.③ B.①③ C.②④ D.①③ 5 解析 若, ，则与 所成的角为 ，①错误； 若与 所成角为 ，则, 或 ，②错误； 若, ，则平面 与 所成的锐二面角为 ，③正确； 若平面 与 所成的角为 ，则, 或 ，④错误. 故选A. 6 3.[湖北武汉2024高二期中联考] 如图，空间四边形中， ， ，，点在上，点在上，， ，则 ( ) C A. B. C. D. 7 解析 由， ， 得 .故选C. 8 4.[陕西师范大学附属中学2024高二月考] 已知空间中三点，， ， 则点到直线 的距离为( ) A A. B. C. D. 9 解析 依题意得,，则点C到直线 的距离为 . 10 5.[浙江湖州2024高二期中] 点是棱长为1的正方体的底面 上一点，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 11 解析 如图，以A为原点，，，所在直线分别为,, 轴建立空间直角 坐标系.设，,,, , ， 因为,,所以当,时，有最小值，当,或 , 或,或,时，都取得最大值0，因此 的取值范围为 ,故选D. 12 6.如图所示，已知为菱形所在平面外一点，且 平面 ， ，为的中点，则二面角 的正切值为 ( ) D A. B. C. D. 13 解析 如图，设与交于点,连接 四边形为菱形，为 的中 点，为的中点， 平面， 平面 .以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴建立空间直角 坐标系.设，则 ， ，，，，，， ，结合 图形可知，为平面的一个法向量.由， ，0， ，可求得平面 的一个法向量，， . ，，又二面角为锐二面角，，， ， . 14 7.[重庆杨家坪中学2024高二月考] 如图，已知正方体 的棱长 为4，是的中点，，，.若 ， 则 面积的最小值为( ) C A.4 B.8 C. D. 15 解析 由, ,，知点在平面 内. 以A为原点，,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 则,,，设，, ,则 , ， 由，得，即 . 取的中点，连接，则点的轨迹为线段，过点B作，垂足为,连接 , 则 . 又 平面， 平面,故 ， 所以的最小值为 .故选C. 16 8.[吉林东北师大附中2023调研] 在四棱柱中，侧棱 底面 ， ，，，侧面为正方形，设点为四棱锥 外 接球的球心，为上的动点，则直线与 所成角中最小角的正弦值为( ) D A. B. C. D. 17 解析 由题意可知,,两两相互垂直，如图所示，以C为原点，, , 所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系. 设，则，，， , 又球心必在过长方形中心的直线上，故球心在平面 上的射 影坐标为.则可设球心，则 ， 即，解得，则 . 设，，， ， 18 , . 设，则，，则 ， 当时，,有最大值，为，此时直线与 所成的角最小，对应的 正弦值为 .故选D. 19 9.如图，正方体的棱长为1，是 的中点，则下列说法正确的是( ) AB A.直线平面 B. C.三棱锥的体积为 D.直线与平面所成的角为 20 解析 如图,建立空间直角坐标系，则，， ， ，， ， ，，,1,，所以， ， ， . 对于A，设平面的法向量为，则即 取 ， 则，即，又直线 平面 ，所以直线 平面 ，故A正确； 21 对于B，因为，所以，即 ，故B 正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，由题意易知，为平面的一个法向量，,1,，设直线 与平面 所成的角为 ，所以，所以 ，故D错误.故选 . 22 10.（多选）[广东广州四中2024高二月考] 在长方体中， ， 动点满足，,, ，则下列结论正确的有 ( ) BCD A.当时， B.当时，平面 C.当,时，点到直线的距离为 D.当时，点为 的重心 23 解析 以D为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ， ， ， 可得，， . 对于选项A：设，则 ， 因为，所以 ,不为0， 所以 不成立，故A错误； 对于选项B： 由，可知 ， 平面， 平面，所以平面 ， 24 同理可得,平面 ， 又，, 平面 ， 所以平面平面 ， 当时，A,,,四点共面，即 平面 ， 所以平面 ，故B正确； 对于选项C：当, 时， ，,可得 ，又 ，所以点到直线的距离为 ，故C正确； 25 对于选项D：当时， ， 且，可知 ， 由，，可知,的重心为,,，所以点为 的重心，故 D正确. 故选 . 26 11.（多选）[陕西西安中学2024高二期中] 如图，在菱形中，， ，沿 对角线将折起，使点,之间的距离为.若,分别为线段, 上的动点，则下列说 法正确的是( ) ABD A.平面 平面 B.线段长度的最小值为 C.当，时，点到直线的距离为 D.当,分别为线段,的中点时，与所成角的余弦值为 27 解析 取的中点，连接,.在菱形中，， ，所以 . 因为，所以，所以 . 又因为，为的中点，所以，同理可得 ， 因为，，，, 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面，所以平面 平面 ，故A正确. 又,, ， 28 故以为原点，,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,, . 当，时，， ， ， ， 29 所以点D到直线的距离为 30 ，故C错误. 设,，设,,得 ， ， 31 当且时， ，故B正确. 当,分别为线段,的中点时，, ， ， ， 设与所成的角为 ，则 ， 所以与所成角的余弦值为，故D正确.故选 . 32 12.已知空间向量,, . （1）若，且，则 __； 解析 当时， . 因为,，所以 . 因为，所以，解得 . 33 （2）若,,共面，在以下三个条件，，中选取一个作为已知，则 的值 可以为_______________________________.（答对一空给3分） 或或8（只需写出一个） 解析 因为,,共面，所以由空间向量基本定理可知，, , . 选，则 ，故 解得 . 选，则 ， 34 故解得 . 选，则 ， 故解得 . 综上所述，的值可以为或 或8. 35 13.[河南驻马店高级中学2024高二月考] 已知圆锥（为圆锥顶点， 为底面 圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，，， 为底面圆周上三点，若空间 一动点满足，则 的最小值为____． 解析 因为 ， 所以，即 ， 所以，， 共面. 又，，为底面圆周上三点，所以点为平面 上一点. 由题意知 平面 ， 所以，又圆锥 的轴截面是边长为2的等边三角形，所以 ，所以的最小值为 . 36 14.[河北保定2024高二月考] 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边 形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成 的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）.若它的所有棱长都为 ，则以下结论正 确的是________.（填序号） ① 平面 ； ②该二十四等边体的体积为 ； ③该二十四等边体外接球的表面积为 ； ④与平面所成角的正弦值为 . ②③④ 37 解析 将几何体补成正方体 ， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，， 轴建立如图 所示的空间直角坐标系. 对于①，，，， ， 所以，，则 ，故①错误； 对于②，该二十四等边体是在正方体 上截去8个全等的 三棱锥而成， 且三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为1， 故该二十四等边体的体积 ，故②正确； 38 对于③，易知正方体的中心 为该二十四等边体外接球的球心，且该球的 半径为 ， 因此，该二十四等边体外接球的表面积为 ，故③正确； 对于④，易知平面的一个法向量为，，，所以 ， 所以,，故与平面所成角的正弦值为 ，故④正确. 故答案为②③④. 39 15.（本小题满分13分）[辽宁沈阳2024高二期中] 如图，三棱锥 的底 面为等腰直角三角形， ,,分别为,的中点， 平面，点在线段 上． （1）从下面的①②③④四个条件中选择两个作为已知，使得平面 平面 ，并给予证明. 条件①：；条件②： ； 条件③：；条件④： ． 40 【解】因为 平面， 平面， 平面 ，所以 ,,又因为底面为等腰直角三角形， ,所以 ,则建立如图所示的空间直角坐标系. 故,,,，设, ， , , 则,，, ， ． 41 故 , , ． 设平面的法向量为 ，则 令,可得 ． 设平面的法向量为，则 令，可得 ． 42 要使平面 平面，则，解得 . 注意到条件，条件，条件 ， 条件 ， 所以只能选①④或②③. 当选择①④时， ，，所以，所以平面 平面 ． 当选择②③时, ， ． 所以，所以平面 平面 ． 43 （2）在（1）的条件下，求直线与平面 所成的角的正弦值． 注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分. [答案] 当选择①④时， 由（1）知，平面的一个法向量为 ． 设直线与平面所成角为 ，则．所以直线与平面 所成 的角的正弦值为 . 44 当选择②③时， 由（1）知，平面的一个法向量为 ． 设直线与平面所成角为 ，则．所以直线与平面 所 成的角的正弦值为 . 45 16.（本小题满分15分）[安徽皖中联盟2024高二期中联考] 如图，在直三棱柱 中，， . （1）证明： ； 46 【证明】连接 ，如图. 由直三棱柱的性质可知， . 因为，， 平面， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面，所以.因为 ，所以四边形 为正方形，所以 ， 又因为， 平面， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ， 所以 . 47 （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面 夹角的余弦值. 【解】由（1）得 平面，从而点到平面的距离为 ， 故，即 . 以为原点，分别以,,所在直线为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为，因为， ， 所以 48 令，则，可得平面的一个法向量 . 设平面的法向量为，因为， ， 所以 令，则，，可得平面的一个法向量 . 设平面与平面的夹角为 ，则 ， 故平面与平面夹角的余弦值为 . 49 17.（本小题满分15分）[山东临沂2023高二期末] 如图，在四棱锥 中，是正三角形，四边形是菱形，， ，点 是 的中点. （1）求证：平面 ； 【证明】在四棱锥中，连接交于点，则为 的中点， 连接 . 为的中点， , 又 平面， 平面 ， 平面 . 50 （2）若平面 平面，求点到平面 的距离. 【解】 四边形是菱形，且 ， 为正三角形，取的中点，连接，，则 . 平面 平面，平面 平面， 平面 . 是正三角形, . 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 . ,则，，，， , 51 ， . 设平面的法向量为 , 则即 令，可得平面的一个法向量.又,设点到平面 的 距离为 ,则，即点到平面的距离为 . 52 【多种解法】（2） 四边形是菱形，且 ， 为正 三角形，取的中点，连接，，则，又 平面 平面 ，平面 平面， 平面 . ，是正三角形，，易得 ， ,连接 ， ， . 取的中点，连接 . ， ， ，可得 . 设点到平面的距离为，由，得 ， 解得，即点到平面的距离为 . 53 18.（本小题满分17分）[广东广州2024高二期中] 在如图所示的试验装置中， 两个正方形框，的边长都是1，且平面 平面 ，活动弹 珠（大小不计）,,分别在线段，,上移动，， 平面 ，记 . （1）证明： 平面 ； 54 【证明】因为平面，且 平面 ， 平面 平面 ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 则， ， 即，所以 . 因为，所以 ， 又平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面 . 55 （2）当的长度最小时，求二面角 的余弦值. 【解】由（1）知， 平面，因为 平面，所以 ，所以 ， 当且仅当 时，等号成立. 56 所以当的长度最小时，,为中点.以点为坐标原点，, , 所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,0,, ， 则，， . 设平面的法向量为，则 57 取，可得 . 设平面的法向量为，则 取，可得 . 所以,，由图可知，二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 . 58 19.（本小题满分17分）[辽宁省实验中学2024高二期中] 如图，在四棱锥 中， 平面,，且，, , ,,,分别为, 的中点. （1）求证：平面 . 【证明】如图， 过点作交于点,连接 . 因为 平面， 平面，所以，又 平面 ， 平面，故 . 因为为的中点，所以也为中点，又为的中点，,所以 . 因为 平面， 平面，所以平面，同理平面 ，又 ，, 平面，所以平面平面，而 平面,所以 平 面 . 59 （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是 ？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由. 【解】存在点满足题意，此时.根据题意设 ,如 图, 以点为原点，过点在平面内作垂直于的直线为轴，, 所在的直线分别为, 轴建立空间直角坐标系. 则,,, . 故,,, ， 则 . 60 设平面的法向量为,则有 取 ，可得 . 则, , 整理得,解得或 （舍去）， 所以当时, 直线与平面所成角的正弦值是 . 61 （3）在平面内是否存在点，满足?若存在，请写出点 的轨迹图形形状;若不存 在，请简单说明理由. 【解】存在点满足题意，此时点的轨迹是半径为的圆.由（2）知，平面 的一个法向量 为，点,的中点，则,,,则点到平面 的 距离为.由，得,故在以 的中点为 球心，半径为 的球面上， 而，故在平面内的轨迹是半径为 的圆， 故存在符合题意的点，此时点的轨迹是半径为 的圆. 62 $$