第1.3节综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 1.3 1.3 等比数列 2 1.3 第1.3节综合训练 刷能力 3 1.[山东聊城2024高二期末] 已知数列满足，若，则 ( ) B A.4 B.3 C. D.2 4 解析 由可得，由,可知 , 所以，则 是公比为2的等比数列， 所以，所以 . 故选B. 5 2.[山西运城2024高二期末] 已知各项为正的等比数列中，,，则 的前4项 和 ( ) A A.40 B.121 C.27 D.81 6 解析 设等比数列的公比为,,,,, , , .故选A. 7 3.5个数依次组成等比数列，且公比为 ，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) C A. B. C. D. 8 解析 由题意可设这5个数依次为，，，，，其中 ,故奇数项和与偶数项和的 比值为 ,故选C. 9 4.[甘肃兰州一中2024高二期中] 设等比数列的前项和为，若，则 ( ) A A. B. C. D. 10 解析 等比数列的前项和为，则,, 成等比数列， 设，则，，所以，所以 ， 所以，即 . 故选A. 11 5.[福建福州一中2023高二期末] 已知数列是等差数列，且,，将, , ,去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则 ( ) C A. B. C. D. 12 解析 在等差数列中，，解得，而 ，则有公差 ，因此等差数列的通项，则,, , ，显然去掉后，,,成等比数列，则数列的首项为，公比 ， 所以 .故选C. 13 6.[河北石家庄2023高二开学考] 已知三角形数表如下： 现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，则 ( ) B A. B. C. D. 14 解析 由题表，第一行有1个数，第二行有2个数……第行有个数，满足 的的最大值是13，所以前13行共有 个数，第100个数是第14行的第9个数，根据 通项可知，第9个数是，即 .故选B. 15 7.[吉林长春东北师大附中2023高二期中] 若数列的前项和为，且满足 ， ，则 ( ) B A.61 B.253 C.1 021 D.4 092 16 解析 由题得，即， 数列 是首项为，公比为的等比数列， ，即 ， ，故选B. 17 8.已知等比数列的前项的乘积记为，若，则 ( ) C A. B. C. D.8 192 18 解析 设等比数列的公比为.由可知，即 ，所以 ，即 . 又因为，所以，即,所以，所以 ,所以 . 19 9.已知数列满足，，记数列的前项和为 .若 对于任意，不等式恒成立，则实数 的取值范围为( ) C A., B., C., D., 20 解析 由已知可得，，又，则，所以数列 是首项为 2，公比为2的等比数列，则，即 . 所以 ， 所以，所以实数 的取值范围 是， .故选C. 21 10.（多选）[甘肃庆阳2024月考] 设,，在数列中，,, ，数 列的前项和为 ,则下列说法正确的是( ) CD A.当,时， B.当,时， C.当,时， D.当,时， 22 解析 对于A：当，时，，即 ， 又，则，所以，又，则，所以 ， 即数列的奇数项都为，偶数项都为，所以 ，故A错误； 对于B：当，时，，即，又因为 ， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列，则，所以 ，故B错误； 对于C：当，时，，所以 ， 又因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，则 ，故C正确； 对于D：当，时，，则，即 ， 又因为，所以，所以 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即 ，故D正确. 故选 . 23 11.（多选）[福建福州2024高二月考] 已知在等比数列中，，公比，是 的 前 项和，则下列说法正确的是( ) AC A.数列 是等比数列 B.数列 是递增数列 C.数列{ 是等差数列 D.数列中，，， 仍然构成等比数列 24 解析 等比数列中，，，所以 . 对于选项A，，数列 依然是等比数列，A正确； 对于选项B，，显然数列 是递减数列，B错误； 对于选项C，，显然数列{ 是等差数列，C正确； 对于选项D，，， ，显然这三项 不构成等比数列，D错误.故选 . 25 12.[甘肃定西2024高二月考] 在数列中，，，若对于任意的 ， 恒成立，则实数 的最小值为___. 26 解析 由得，又 ， 故数列为首项为3，公比为3的等比数列，可得 ， 则不等式可化为 . 令 ， 当时,；当时， . 当时， ， 则 ， 当时，，即 ， 此时，数列 单调递减. 综上所述，，可得实数的最小值为 . 27 13.给定，使乘积为整数的 称为“理想数”，则 在 内的所有“理想数”的和为________. 4 072 28 解析 ， 由 为整数得 为整数. 设，则，， 内所有的 “理想数”为，，， ，， ，其和 . 29 14.[甘肃兰州一中2024高二期中] 已知数列与 满足： ，若是各项为正数的等比数列，且， . （1）求数列与 的通项公式； 【解】由题知， ，① 当时， ，② 可得，结合已知得 ， ，，设的公比为 ， ，得（ 舍去）， . ， . 30 （2）若数列满足，为数列的前项和，证明： . 【证明】由题得 ， ， 当时,，有 ， ，故 ，得证. 31 15.[安徽太和中学2023高二期中] 已知数列满足,，数列 为等比数列，且满 足 . （1）求数列 的通项公式； 【解】因为,,，令得，又数列 为等比数列， 所以，则，所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 . 32 （2）已知数列的前项和为，且，记数列满足 求数列 的前项和 . [答案] 由（1）知数列是公比为2的等比数列，由 得 ，解得，则，所以 数列 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列,偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以 . 33 16.[上海交通大学2022强基计划] 等比数列中,，为的前项和， ，则 ( ) D A.不存在 B. C. D. 34 解析 由题意，显然，又,解得， , . 35 17.[中国科学技术大学2023强基计划] 已知正整数数列和满足，且 是等 差数列，是等比数列，数列满足.若存在正整数满足， ， 求数列 的通项公式. 36 【解】设等差数列的公差为，则，等比数列的公比为，则 ，此时 ，则 ， . 情形一：当时， ，矛盾. 情形二：当时，则 ， 所以，此时 . 情形三：当时，则（舍去， 应为正整 数）. 情形四：当时，则， ，此时 37 ，不满足题意. 情形五：当时，则， ，此时 ，不满足题意. 情形六：当时，则,，此时 ，则 ，不满足题意.综上所述， . $$