第6.3节综合训练-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步课件 (人教A版2019)

数学 选择性必修 第三册 RJA 1 6.3 6.3 二项式定理 2 6.3 第6.3节综合训练 刷能力 3 1. 的展开式中，中间一项是( ) A A. B.252 C. D. 4 解析 的展开式的通项为 , ,1,2, ,10，共11项， 则中间一项是第6项，即 .故选A. 5 2. 的展开式中 的系数为( ) C A. B. C. D. 6 解析 .又 的二项展开式的通项 ,当且仅当 , 时符合题意,所以 的展开式中 的系数为 ,故选C. 7 3.已知 对任意 恒成立，且 ， ，则 ( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 8 解析 因为 ，所以 ，且 , ，可得 ， ，解得 ， ，故选A. 9 4.[江苏南京2023高二月考] 已知 的展 开式中 的系数为 ，空间有 个点，其中任何四点不共面，这 个点可以确定的直线条数为 ， 以这 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为 ，以这 个点中的某些点为顶点可以确 定的四面体个数为 ，则 ( ) D A.2 022 B.2 023 C.40 D.50 10 解析 的展开式中含 的项为 ， 的展开式中含 的项为 ，所以 的展开式中含 的项为 ，其系数 ．依题意得 . 11 5.（多选）[湖南长沙2023高二期中联考] 已知 ，则在二项式 的展开式中，正 确的说法是( ) ACD A. B.常数项是第3项 C.各项的系数和是1 D.第4项的二项式系数最大 12 解析 由 得 ,A正确； 二项式 的展开式通项为 ，令 ，可得 ，故常数项是第4项，B错误； 二项式 中，令 ，可得各项的系数和是 ,C正确； 由 可得二项式展开式共有7项，第4项的二项式系数最大，D正确． 故选 ． 13 6.（多选）[广东茂名2023高二期中] 已知 ，则( ) ABD A.展开式中所有项的二项式系数和为 B.展开式中所有奇数项系数和为 C.展开式中所有偶数项系数和为 D. 14 解析 A项，二项式系数之和为 ，故A正确； ， 当 时， ，① 当 时， ，② B项， 可得 ，即 ， 故B正确； C项， 可得 ，即 ， 故C错误； D项， ，令 ，则 ，令 ， 则 ，即 ，故D正确.故选 ． 15 7.[黑龙江大庆实验中学2023高二期中] 南宋数学家杨辉所著的《详解九章 算法》一书中画了一张表示二项展开式的系数构成的三角形数阵（如图所 示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于_ ____.（用一个 组合数作答） 16 解析 依题意，在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于 ， 可视为 按 升幂展开与 按 降幂展开的两个多项式乘积展开式的含 项的 系数， 即 展开式中含 项的系数， 而 ， 展开式中含 项的系数为 ，所以 . 17 8.[福建三明一中2022高二月考] 在①倒数后三项的二项式系数之和等于46;②所有项的系数和为 512;③第3项与第4项的系数之比为 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线处，并 且解答下列问题. 在二项式 的展开式中，____. ① 18 （1）求展开式中二项式系数最大的项； 【解】选择条件①：由题意得 ，整理得 ，解得 （ 舍去）.因此，二项展开式中共有10项，所以二项式系 数最大的项有两项，即第5项和第6项. ， ， 所以展开式中二项式系数最大的项为 和 . 选择条件②：因为展开式中所有项的系数和为512，所以 ，解得 . 后同选①. 选择条件③：依题意可得 ，即 ，所以 . 后同选①. 19 （2）求展开式中的常数项. 【解】由（1）得 ，二项式为 ，二项展开式的通项为 ，令 ，得 ，所以展开式中 的常数项为 . 20 9.[中国科学技术大学2023强基计划] 使得 展开式中 的系数最大，则正整数 的 值为________. 1 349 解析 的系数为 ,若 的系数最大，则有 解得 ,因为 ,所以 . 21 10.[复旦大学2021强基计划] 的常数项为________. 1 680 解析 由题意可知，常数项的构成必为 ,故常数项为 . 22 $$