第1.1节综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教B版2019)

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.1 1.1 空间向量及其运算 2 1.1 第1.1节综合训练 刷能力 3 建议用时：50分钟 1.[安徽师大附中2024高二期中] 如图，在四棱锥中，底面 是正方 形，是的中点，点满足.若，，，则 ( ) C A. B. C. D. 4 解析 由题意知 ． 故选C． 5 2.已知空间两个单位向量,与向量的夹角都等于 ，则 ( ) C A. B. C.或 D.或 6 解析 空间两个单位向量，与向量的夹角都等于 ， ，， ，又 ，，又为单位向量，.联立 得或 ， ， .故选C. 7 3.[陕西西安长安区一中2024高二期中] 已知向量，， .若 ,,,四点共面，则在 上的投影向量的模为( ) A A. B. C. D. 8 解析 因为,A,B,C四点共面，所以存在实数,，使得 ， 即，即解得则 ， 所以在上的投影向量的模为 .故选A. 9 4.[湖北武汉2024高二期中联考] 已知三棱锥的体积为15， 是空间中一点， ，则三棱锥 的体积是( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 10 解析 因为，所以 ， 即 ， 即 ， 所以 . 因为，所以由空间向量基本定理可知，在平面 内存在一点D，使得 成立，即，所以，即 ，则 . 又三棱锥 的体积为15， 则 .故选C. 11 5.[福建厦门2024高二阶段性检测] 已知四边形满足， ， ， ，则该四边形为( ) D A.平行四边形 B.梯形 C.长方形 D.空间四边形 12 解析 由 ， 可得, ， 根据两个向量的夹角的定义，可得四边形中， ， 同理可得在四边形中，,,，则这个四边形 只能为空间四边形.故选D. 13 6.[浙江杭州第二中学2024高二期中] 如图，在棱长为3的正方体 中，，点在底面正方形 内移动（包含边界）， 且满足，则线段 长度的最大值为( ) B A. B. C. D. 14 解析 依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则, , ， 设 ， 所以, ， 则，则，所以 ，即 . 而 ， 由二次函数的单调性可知 ， 当时，，则 .故选B. 15 7.[广东东莞中学2024高二段考] 正四面体的棱长为，若点 是该正四面体外接球球面上 一动点，则 的最大值为( ) C A. B. C. D. 16 图① 解析 由题意，如图①所示, 设点为正四面体的外接球球心,连接, , , . 则 ,且 . 17 图② 当与同向时,的值最大.设，设 的中点为D，连接 ，如图②所示. ， ， ，故 ，故选C. 18 【多种解法】取中点,正四面体的外接球球心为,连接 （图略），则 ，因为 长度 是定值，故当最大时，数量积最大.显然，当在的延长线与球面的交点处时， 最大. 因为,所以 , 此时 , 则 . 19 【二级结论】棱长为的正四面体，其高为,外接球半径,内切球半径 . 【二级结论】极化恒等式 （1）根据向量的数量积运算，对任意向量， ，有 ,则在平行四边形 中， . （2）在三角形中，若为边的中点，则 . 21 8.（多选）[山东济宁2024高二期中] 已知空间中三点，， ，则下列说 法正确的是( ) ACD A. B.与 是共线向量 C.和夹角的余弦值是0 D.与同向的单位向量是 22 解析 ,,，所以 ，A选项正确; ，所以与 不共线，B选项错误; ，所以和 夹角的余弦值是0，C选项正确; 与同向的单位向量是，D选项正确.故选 . 23 9.（多选）[山西朔州怀仁一中2024高二期中] 已知三棱柱， 为空间内一点，若 ，其中 ， ，则( ) ABD A.若，则点在棱上（不包含点 ） B.若 ，则点在线段上（不包含点 ） C.若，则点为棱 的中点 D.若，则点在线段 上（不包含端点） 24 解析 作出三棱柱 ，如图. 对于A，当时，，则 ， 所以点在棱上（不包含点 ），故A正确； 对于B，当 时， , 所以点在线段 上（不包含点B），故B正确； 对于C，当时，由B知，所以为线段 的中点，故C错误； 对于D，当时， ， 所以，则，即 ， 所以点在线段 上（不包含端点），故D正确. 故选 . 25 10.（多选）[山东临沂2024高二月考] 已知单位向量，，两两的夹角均为 ，且 .若空间向量满足，则有序实数组称为向量 在“仿射” 坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作 ，则下列说法正确的有 ( ) BC A.已知 ， ，则 B.已知，，其中,,，则当且仅当时，向量， 的夹角取得 最小值 C.已知 ， ，则 D.已知，，，则三棱锥的表面积 26 解析 由定义可得 ， 因为 ，且，所以，故A错误；如图所示，设 ， ，则点A在平面上，点B在轴上，由图易知当时， 取得最小值， 即向量与 的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得 ， 故C正确；由已知可得三棱锥 为正四面体，棱长为1，其表面积 ，故D错误.故选 . 27 11.已知向量，,其中,则与 夹角的最大值为___. 解析 使和的起点在原点,记它们的终点分别为和 .因为 ,所以向量的终点在以 为圆心，1为半径的圆 上,向量的终点在以为圆心，1为半径的圆上.显然与 的距离为1， 如图所示，易知两向量夹角的最大值为 . 28 12.已知向量, ． （1）若，求实数 ； 【解】因为,，所以， ， 因为 ， 所以，解得 . 29 （2）若向量与所成角为锐角，求实数 的范围． [答案] 由（1）知，，，因为向量与 所成 角为锐角， 所以，解得 ， 又当时，，所以实数的范围为 . 30 13.[四川成都七中2024入学考] 在四棱柱中， , ，, ． （1）当时，试用,,表示 ； 【解】在四棱柱中， ， 因为，所以 . 31 （2）证明：,,, 四点共面. 【证明】设（ , 不为0）， ， 则,,共面且有公共点，则,,, 四点共面. 32 14.已知，， ，定义一种运算： .已知四棱锥 中，底 面是一个平行四边形，，， . （1）求证： 平面 ； 【证明】， ， ， . 又，, 平面 ， 平面 . 33 （2）根据上述定义，计算 的绝对值的值； 【解】 . 34 （3）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥 体积的关 系，并由此猜想向量这一运算 的绝对值的几何意义. 【解】, ， ,, ， , . 的绝对值是四棱锥 体积的3倍. 猜想：的绝对值的几何意义是以,, 为邻边的直四棱柱的体积. 35 $$