1.3.1 等比数列及其通项公式～1.3.2 等比数列与指数函数-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 1.3 1.3 等比数列 2 1.3 1.3.1 等比数列及其通项公式+1.3.2 等比数列与指数函数 刷基础 3 1.有下列4种说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列的公比的取值范围是 ；③若一 个非零的常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；，，，， 成等比数列.其中 正确说法的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 题型1 等比数列的定义 4 解析 由等比数列的定义可知，等比数列是根据比值来定义的，故等比数列的每一项和公比都不 能为零，故①②错误；一个非零的常数列，一定是等比数列，其公比为1，故③正确；由于 ，故不成等比数列，故④错误.故选B. 题型1 等比数列的定义 5 2.已知数列，，， 是等比数列，则实数 的取值范围是( ) D A. B.或 C. D.且 题型1 等比数列的定义 6 解析 由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且 ,所 以且 .故选D. 题型1 等比数列的定义 7 3.（多选）[山西朔州2024高二月考] 已知等比数列中，满足，公比 ，则 ( ) CD A.数列是等比数列 B.数列 是等差数列 C.数列是等比数列 D.数列{ 是等差数列 题型1 等比数列的定义 8 解析 因为在等比数列中，满足，公比，所以 . 对于A， ，不是等比数列，故A 错误； 对于B， ，不是等差数列，故B错误； 对于C， ，是等比数列，故C正确； 对于D，，是等差数列，故D正确.故选 . 题型1 等比数列的定义 9 【归纳总结】判断一个数列是否为等比数列的方法 （1）定义法： 是等比数列； （2）等比中项法： 是等比数列； （3）通项公式法：是首项为，公比为 的等比数列. 题型1 等比数列的定义 10 4.已知数列满足，， . （1）求，， ； 【解】由题可得，将代入，得，又，，将 代入，得，，，， . 题型1 等比数列的定义 11 （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由. [答案] 是首项为2，公比为3的等比数列. 理由如下：由已知可得，即，又， 是首项为2，公比为3 的等比数列. 题型1 等比数列的定义 12 5.[河北石家庄2024高二期末] 已知数列是首项为2的等比数列，且公比大于0， ， 则 的通项公式为( ) C A. B. C. D. 题型2 等比数列的通项公式 13 解析 设的公比为.由，得，解得或 .又公比大于0， 所以，所以 .故选C. 题型2 等比数列的通项公式 14 6.[黑龙江齐齐哈尔八中2023高二期中] 已知在等比数列中，，，则 ( ) B A.16 B.4 C.2 D.1 题型2 等比数列的通项公式 15 解析 设等比数列的公比为，则， .故选B. 题型2 等比数列的通项公式 16 7.在正项等比数列中，,是,的等差中项，则 ( ) D A.16 B.27 C.32 D.54 题型2 等比数列的通项公式 17 解析 设数列的公比为，,则，，解得 或（舍去）， .故选D. 题型2 等比数列的通项公式 18 8.[河南南阳六校2023高二期中] 已知正项等比数列满足条件， . （1）求 的通项公式； 【解】设的公比为 . 由题意得，所以，，所以 ， .所以 . 题型2 等比数列的通项公式 19 （2）设，求 的最大值. [答案] .二次函数 的图象 的对称轴为直线，故当或时，取得最大值，且最大值为 . 题型2 等比数列的通项公式 20 9.[陕西汉中2023高二期末] 在等比数列中，,，则与 的等比中项是( ) D A. B.1 C.2 D. 题型3 等比中项 21 解析 因为，所以与的等比中项是 ，故选D. 题型3 等比中项 22 10.已知数列是等比数列，且，则 的值为( ) C A.3 B.6 C.9 D.36 题型3 等比中项 23 解析 由等比数列的性质知，，， ，所以 .又，所以 . 故选C. 题型3 等比中项 24 11.[甘肃张掖重点中学2024高二月考] 已知各项均为正数的等比数列中，与 的等比中项 为，则 的最小值为___. 8 题型3 等比中项 25 解析 设等比数列的公比为.由题意得，，，即 ，从而 ，当且仅当时取等号，则 的最小值为8. 题型3 等比中项 26 12. [北京第八中学2023高二期中] 已知是等比数列，则“ ”是 “ 是递增数列”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型4 等比数列的函数性质 27 解析 由数列是等比数列，可假设,，则,,, ，可 知，但数列不是递增数列.若数列 是递增等比数列，由定义可知， .故“”是“ 是递增数列”的必要不充分条件.故选B. 题型4 等比数列的函数性质 28 【链接教材】本题是教材第30页练习第1题的变式，都是考查等比数列公比 与等比数列单调性的 关系，对于等比数列 ， （1）当或时，等比数列 为递增数列； （2）当或时，等比数列 为递减数列； （3）当时，等比数列 为常数列（各项均不为0）； （4）当时，等比数列 为摆动数列，它的所有奇数项同号，所有偶数项同号，但奇数项 与偶数项异号. 题型4 等比数列的函数性质 29 13.已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若， ，则 ( ) D A. B. C. D. 题型4 等比数列的函数性质 30 解析 等差数列的通项公式是关于的一次函数， ，其对应的函数的图象在一条直线上， 而正项等比数列的通项公式是关于 的指数函数形式，其对应的函数的图象在指数函数形式 的图象上. 当的公差 时，如图①所示. 图① 题型4 等比数列的函数性质 31 图② 当的公差 时，如图②所示. 由图①②可知，当,时，，，， . 故选D. 题型4 等比数列的函数性质 32 14.（多选）[湖南邵阳2024高二期末] 已知，， 为非零实数，则下列说法正确的是( ) AC A.是，， 成等差数列的充要条件 B.是，， 成等比数列的充要条件 C.若，，成等比数列，则，， 成等比数列 D.若，，成等差数列，则，， 成等差数列 题型5 等比数列的性质 33 解析 对于选项A，根据等差中项即可得出是，， 成等差数列的充要条件，故A正 确； 对于选项B，，即，又，，为非零实数，所以根据等比中项即可证明， ， 成等比数列，但，，成等比数列，不确定的正负，只能得到，即是， ， 成等比数列的充分不必要条件，故B错误； 对于选项C，若，，成等比数列，则，则，则，， 成等比数列，故C 正确； 对于选项D，若，，成等差数列，则，无法得到 恒成立，故D错误.故 选 . 题型5 等比数列的性质 34 15.[甘肃天水2023高二期中] 在等比数列中，，，则 ( ) A A.或 B. C.或 D.或 题型5 等比数列的性质 35 解析 设等比数列的公比为.由等比数列的性质可得 . 又，所以或 若则，此时；若则 ，此时 .故选A. 题型5 等比数列的性质 36 16.已知 是等比数列，下列数列一定是等比数列的是( ) D A. B. C. D. 题型5 等比数列的性质 37 解析 设等比数列的公比为 . 当时，，数列不是等比数列；当时，，数列 不是等比数列；当时，，数列 不是等比数列；因为 ，所以 ，由等比数列 的定义可知,数列 是等比数列.故选D. 题型5 等比数列的性质 38 17.（多选）在正项等比数列中，公比为，已知, , ，则下列说法正确的是( ) BD A. B. C. D. 题型5 等比数列的性质 39 解析 已知正项等比数列的公比为，则.由, ，得 ,，B正确；而，于是，即，A错误；而 ，则 ，C错误；由得，即 ，因为 ，所以，显然，所以，解得 ，D正确.故 选 . 题型5 等比数列的性质 40 18.[湖北咸宁2023高二期末] 已知数列为正项等比数列，且 ，则 ___. 题型5 等比数列的性质 41 解析 数列为正项等比数列，且 ， . 题型5 等比数列的性质 42 【归纳总结】在等比数列中，若，则 .当条件或结 论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应 用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别. 题型5 等比数列的性质 43 19.已知数列满足且 ，则( ) D A.是等差数列 B.是等比数列 C.是等比数列 D. 是等比数列 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 44 解析 由，可得，所以，又由得 ， 所以 是首项为3，公比为2的等比数列，故D正确. 所以，即， . ，所以 不是等差数列； 不等于常数，所以 不是等比数列; 不等于常数，所以 不是等比数列.故选D. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 45 【规律方法】当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利 用等比数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出 . 对型递推公式，可转化为 ,当 时,数列 为等比数列，从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题.或者 消去常数项:由,,两式相减得 ,当 时，数列是公比为 的等比数列. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 46 20.[广东广州六区2024高二期末检测] 已知数列满足，，则 的 通项公式 _________. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 47 解析 ， ， ，又 ， 数列 是以1为首项，2为公比的等比数列， ，解得， . 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 48 1.3 1.3.1 等比数列及其通项公式+1.3.2 等比数列与指数函数 刷提升 49 1.[陕西西北工大附中2024高二期中] 已知数列是等差数列，数列 是等比数列， ，且，则 ( ) B A. B. C. D. 50 解析 由数列是等差数列，，可得，即 . 由数列是等比数列，，可得，可得 . 则 .故选B. 51 2.[课标全国Ⅰ文2020·10，5分] 设是等比数列，且, ,则 ( ) D A.12 B.24 C.30 D.32 52 解析 设等比数列的公比为，因为， ，所以 ，解得 . 所以 ，故选D. 53 3.（多选）已知等比数列的公比为，且 ，则下列选项正确的是( ) AC A. B. C. D. 54 解析 因为等比数列的公比为，且,所以，， ， . ，当且仅当 时取等号，故A正确； ，当时， ，故B错误； ，故C正确； ，存在使得，故D错误.故选 . 55 4.[福建宁德一中2024高二月考] 数列是等比数列，首项为，公比为，则“ ” 是“数列 递减”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 56 解析 由得或此时数列 不一定是递减数列，所以 “”是“数列 递减”的不充分条件； 若数列为递减数列，可得或所以，所以“ ”是 “数列递减”的必要条件.所以“”是“数列 递减”的必要不充分条件.故选 B. 57 5.[湖北襄阳2024高二期末联考] 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问 题，即一个数列本身不是等差数列，但从 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构 成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从 数列中的 第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列,则称数列 为二阶等差数列，依次类推， 可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列 1,1,2,8,64, 是一阶等比数列，则该数列的第8项是( ) C A. B.2 C. D. 58 解析 记数列1,1,2,8,64, 为，设，则，，，， ， 数列是以1为首项，2为公比的等比数列，， 当 时， ， .故选C. 59 6.[甘肃嘉峪关等三地2023高二期末] 已知方程 的四个根组成 以1为首项的等比数列，则 ( ) C A.8 B.12 C.16 D.20 60 解析 设方程的四个根由小到大依次为，，， .不妨 设的一个根为1，则另一个根为27，所以 .又由等比数列的性质 可知，所以，，所以等比数列，，，的公比 ， 所以，.由根与系数的关系得 .所以 .故选C. 61 7.[广东湛江一中2023联考] 已知等比数列的各项均为正数，且, ，则 使得成立的正整数 的最小值为( ) C A.8 B.9 C.10 D.11 62 解析 设等比数列的公比为,，且 . 由题意得两式相除得，则，所以，故.显然当 时，不成立，所以且 ，则 ，即，则，故正整数 的 最小值为10.故选C. 63 8.已知各项均为正数的等比数列满足.若存在两项，，使得 ， 则 的最小值为( ) C A.4 B. C. D.9 64 解析 设等比数列的公比为.由各项均为正数的等比数列满足 ，可 得，即,解得或 （舍）. ，， , ,当且仅当 ，即 , 时，等号成立. 故的最小值为 .故选C. 65 【名师点拨】本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，解题的关键是常量代换的 应用，所谓常量代换，就是把一个常数用代数式来代替，如 ，再把常数6 代换成已知中的,即 .常量代换是基本不等式里常用的一个技巧， 可以优化解题，提高解题效率. 66 9.（多选）[黑龙江佳木斯一中2023高二期末] 已知等比数列的公比为 ，则下列结论正确的 是( ) ABC A.若，则 B.若，且，则 C.若，则 D.若，则 67 解析 显然 . 选项A，因为，所以 ，因此本选项正确；选项B， 由得，又，得，所以 ，得 ，因此本选项正确；选项C，由得，所以 ，则 ，即 ，因此本选项正 确；选项D，由得 ，所以 ，因此本选项不正确.故选 . 68 10.（多选）[山东淄博实验中学2023高二期中] 设等比数列的公比为，前项积为 ，且满 足条件，， ，则下列结论正确的是( ) ACD A. B. C.的最大值为 D. 69 解析 对于选项A,，，，，若， ， ，，，与已知条件矛盾，则 ，选项A正确； 对于选项C，，， 数列为递减数列，又，， 的最大值为 ，选项C正确； 对于选项B, ，选项B错误； 对于选项D,，选项D正确.故选 . 70 11.[北京大兴区2024高二期末] 能说明“若等比数列满足，则等比数列 是递增数 列”是假命题的一个等比数列 的通项公式可以是____________________________________. ,（答案不唯一） 71 解析 由题意可知，若“等比数列是递增数列”，需满足当时，公比 或 时，公比 . 又因为命题为假命题，所以公比 即可满足题意， 不妨取首项时，公比，则,满足，此时数列 是摆动数列， , （答案不唯一）. 72 12.已知数列满足，.若，则数列的通项公式为 ______. 73 解析 因为，所以，所以.因为 ， 且，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以 . 74 13.[山东省实验中学2023二诊] 在正项等比数列中，，且，记数列 的前 项积为.若，请写出一个满足条件的 的值为___________________________. 3（答案不唯一，3，4均可） 75 解析 设等比数列的公比为，则，又，，所以 ，故 .所以 ，满足要求； ，满足要求； ，不满 足要求. 76 14.[河南濮阳多校2024高二联考] 已知数列满足,,, . （1）求数列 的通项公式； 【解】因为，所以，又 ，即 ，所以 ， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，即 ，所 以 . 又，则 . 77 （2）探究数列 是否存在最大项，并说明理由. [答案] 由（1）可得，则 ， 所以 ， 当时，，，则，即 ， 所以当时， 为递减数列， 又，， ， 所以当或时，数列有最大项 . 78 15.[浙江台州2023高二期末] 已知数列为等比数列，且,.数列的前 项和 记为，满足 . （1）求数列, 的通项公式； 【解】设数列的公比为，由得 ， 又，， . ，，且，则当 时， ，则,当时，也满足上式. . 79 （2）若对任意,恒成立，求实数 的取值范围. [答案] ，，， . 记，则 ， 当时，，则 ； 当时，，则 . .则，即实数 的取值范围为 . 80 16.在等比数列中，，，，则 ( ) A A. B. C. D. 易错点1 项的正负判断不准确，出现多解而致错 81 解析 设数列的公比为，则 . 又因为，，所以，解得 . 因为，所以，，从而，即.故 易错点1 项的正负判断不准确，出现多解而致错 82 17.已知是等比数列，,，则 ( ) C A. B. C.8 D. 易错点1 项的正负判断不准确，出现多解而致错 83 解析 数列为等比数列，且,，是, 的等比中项，且 是同号的， .故选C. 易错点1 项的正负判断不准确，出现多解而致错 84 【易错警示】等比数列中各项不为0，且奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.本题易错解为 或 ，造成错误. 易错点1 项的正负判断不准确，出现多解而致错 85 18.在等比数列中，，则数列 的公比为( ) C A.2或 B.4 C.2 D. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 86 解析 设等比数列的公比为，且 ，两式相除可 得，即， .故选C. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 87 18.在等比数列中，，则数列 的公比为( ) C A.2或 B.4 C.2 D. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 88 19.已知等比数列为递增数列，且，，则数列 的通项公式 为 ____. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 89 解析 由，整理得，解得或 .由 得.又因为数列是递增数列，所以.由 ，解得 ，所以数列的通项公式为 . 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 90 【易错警示】第18题易忽略，错解；第19题易忽略，错解或 ，原 因在于没有充分利用条件. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 91 20.若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“ 积数列”.若各项均为正 数的等比数列是一个“2 026积数列”，且，则当其前项的乘积取得最大值时， 的 值为______________. 或 易错点3 忽视特殊项的应用，出现漏解而致错 92 解析 由题可知在等比数列中， ，故 .设数列的公比为,因为数列 是各项均为正数的等比数列， 且，，所以，所以且.故当数列的前 项的 乘积取得最大值时， 的值为1 012或1 013. 易错点3 忽视特殊项的应用，出现漏解而致错 93 【易错警示】本题易忽略 导致漏解，在解决与等比数列有关的最值问题时，注意不可 忽略值为1的项. 易错点3 忽视特殊项的应用，出现漏解而致错 94 20.若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“ 积数列”.若各项均为正 数的等比数列是一个“2 026积数列”，且，则当其前项的乘积取得最大值时， 的 值为______________. 或 易错点3 忽视特殊项的应用，出现漏解而致错 95 21.已知一个等比数列的前4项之积为，第2项与第3项的和为，则这个等比数列的公比 ____________________. 或 易错点4 等比数列的设法忽视公比的取值范围致错 96 解析 设该等比数列的前4项依次为，，，（其中 ）， 由题意得 所以 所以，整理得或，解得 或 . 易错点4 等比数列的设法忽视公比的取值范围致错 97 【易错警示】涉及三个数成等比数列时常将此三个数依次设为，， .涉及四个数成等 比数列时，若已知四个数同号，则常依次设为，，， ;若不能确定这四个数的符 号，则常设为，，，.本题易错设四个数依次为,，， ,公比 为,相当于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而算出公比为 ,造成漏解. 易错点4 等比数列的设法忽视公比的取值范围致错 98 22.[南京大学2022强基计划] 已知实数,,,成等差数列，,,,成等比数列，则 的 取值范围为_________________. 99 解析 依题意得所以 . 设，则 . 100 23.[北京大学2022强基计划] 已知数列满足,，则 最接近的整数为___. 4 101 解析 由题意知.令,则且 ，原递推公式即为 ，整理后为，由得 ，即 ，所以当时，.又 ，符合上式， 所以， . 另一方面，，所以 . 综上所述，，所以与 最接近的整数为4. 102 $$