1.2.1 等差数列及其通项公式～1.2.2 等差数列与一次函数-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 1.2 1.2 等差数列 2 1.2 1.2.1 等差数列及其通项公式+1.2.2 等差数列与一次函数 刷基础 3 1.下列数列中成等差数列的是( ) C A.，， B.,, C.1，， D.2，3，5 题型1 等差数列的定义 4 解析 对于A，，故A不是等差数列；对于B， ， 故B不是等差数列；对于C，，故C是等差数列；对于D， ，故 D不是等差数列.故选C. 题型1 等差数列的定义 5 2.[云南昆明一中2024强基检测] “”是“数列 为等差数列”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 等差数列的定义 6 解析 如果数列是等差数列，根据等差中项的定义可得，反之 成 立，不一定得到数列 是等差数列.故选B. 题型1 等差数列的定义 7 3.（多选）[湖南长沙长郡中学2023高二期中] 若 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的 是( ) BCD A. B. C.,为常数 D. 题型1 等差数列的定义 8 解析 对于选项A，数列 ,1,3是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故选项A不符合题意； 对于选项B，若数列为等差数列，根据等差数列的定义可知，数列 为常数列，故 数列 为等差数列，故选项B符合题意； 对于选项C，若数列为等差数列，设其公差为 ，则 为常数，故数列 为等差数列，故选项C符合 题意； 对于选项D，若数列为等差数列，设其公差为，则 为常数， 故数列为等差数列，故选项D符合题意.故选 . 题型1 等差数列的定义 9 【归纳总结】判断一个数列是否为等差数列的常用方法 （1）定义法 或 数列 是等差数列. （2）等差中项法 为等差数列. （3）通项公式法 数列的通项公式形如,为常数） 数列 为等差数列. 题型1 等差数列的定义 10 4.已知数列满足， . （1）数列 是否为等差数列？请说明理由. 【解】数列是等差数列.理由如下：因为，，所以 ，所 以，所以是首项为，公差 的等差数列. 题型1 等差数列的定义 11 （2）求 . [答案] 由（1）可知，，所以 . 题型1 等差数列的定义 12 5.[黑龙江大庆铁人中学2023高二期中] 已知数列为等差数列，且满足 ， ，则 的值为( ) D A.2 033 B.2 123 C.123 D.0 题型2 等差数列的通项公式 13 解析 设等差数列的公差为，则 ，所以 ，故选D. 题型2 等差数列的通项公式 14 6.67是等差数列3，11，19，27， 的第( ) 项 D A.6 B.7 C.8 D.9 题型2 等差数列的通项公式 15 解析 由已知可得等差数列的首项为，公差 ,所以通项公式 .由可得，解得 .故选D. 题型2 等差数列的通项公式 16 7.在等差数列中，，，则数列 中为正数的项的个数为 ( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 题型2 等差数列的通项公式 17 解析 设数列的公差为 在等差数列中，， ， ，解得， .由 ,可得，则数列 中为正数的项的个数为5，故选B. 题型2 等差数列的通项公式 18 8.[甘肃武威2023高二学业水平检测] 若是与的等差中项，则实数 的值为 ( ) D A. B. C. D.5 题型3 等差中项 19 解析 由题意知是与的等差中项，故，解得 ， 故选D. 题型3 等差中项 20 9.已知等差数列的前三项分别为,, ，则该数列的通项公式为( ) C A. B. C. D. 题型3 等差中项 21 解析 设该等差数列的公差为.因为等差数列的前三项分别为,, ，所以 ，解得，所以,，所以 .故选 C. 题型3 等差中项 22 10.[河南郑州2024高二月考] 已知是等差数列，且是和的等差中项，则 的公 差为( ) B A.1 B.2 C. D. 题型3 等差中项 23 解析 设等差数列的公差为.由已知条件得 ，即 ，解得 .故选B. 题型3 等差中项 24 11.已知,，并且,,成等差数列，则 的最小值为____. 16 题型3 等差中项 25 解析 由等差中项的定义可得 ，故 当且仅当, 时取等号 . 题型3 等差中项 26 12. [甘肃天水一中2023高二期末] 数列为等差数列，若,，则 ( ) B A. B.12 C.10 D.9 题型4 等差数列的性质 27 解析 设等差数列的公差为，由，所以 .故选B. 题型4 等差数列的性质 28 【链接教材】本题是教材第13页例1的变式，已知等差数列中两项求通项公式或其他的项，可以 利用基本量思想，由,,得关于和的方程组解方程组得到 和 ，从而确定通项公式，求得所要求的项. 题型4 等差数列的性质 29 13.[山西大学附属中学2023高二期中] 在等差数列中， ，则 的值为( ) C A.45 B.75 C.180 D.300 题型4 等差数列的性质 30 解析 由，得 ，则 .故选C. 题型4 等差数列的性质 31 14.[重庆七中2023高二期末] 已知是等差数列，且, ，则 的值为( ) D A.24 B.27 C.30 D.33 题型4 等差数列的性质 32 解析 因为是等差数列，设公差为，则 ， ，所以，， 也成等差数 列，所以 .故选D. 题型4 等差数列的性质 33 15.已知等差数列的公差为，则“”是“数列 为单调递增数列”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型5 等差数列的单调性 34 解析 若，则，即，此时数列 为单调递增数列，即 “” “数列为单调递增数列”；若等差数列 为单调递增数列，则 ，即“数列为单调递增数列” “”.因此，“ ”是 “数列 为单调递增数列”的充要条件.故选C. 题型5 等差数列的单调性 35 16.[湖北咸宁2023高二月考] 写出同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式 _____________________. 是递减数列；②对任意，，都有 . （答案不唯一） 题型5 等差数列的单调性 36 解析 假设数列为等差数列，设其公差为 ，由条件②可得 ，所以；再根据 是递减数列， 可知，则，且.取，此时 ，满足题意. 题型5 等差数列的单调性 37 17.已知等差数列是递增数列，且，，则 的取值范围为 _________. 题型5 等差数列的单调性 38 解析 等差数列是递增数列，且，,公差.又 , ，，则 ， ，，的取值范围为 . 题型5 等差数列的单调性 39 18.在数列中，若，，则数列 的通项公式为( ) A A. B. C. D. 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 40 【思路导引】由已知可得{}是等差数列，从而先利用等差数列的通项公式求出 ，进而可求 出 . 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 41 解析 因为，所以，所以{}是首项为 ， 公差为的等差数列，所以，所以 .故选A. 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 42 19.已知数列满足,，则 ( ) B A.9 B. C.11 D. 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 43 解析 由数列满足，可得，即 . 因为，可得，所以数列 表示首项为1，公差为2的等差数列， 则，所以 . 故选B. 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 44 20.已知正项数列满足,,且 . （1）求数列 的通项公式; 【解】由已知得,，所以数列是等差数列，设其公差为 . 由，得 . 所以,即，所以 . 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 45 （2）求满足不等式的正整数 的最小值. [答案] 由，得，所以原不等式可化为 ，不等式的两边同时平方 可得，即，所以 ，整理得 ，解得或 . 因为，所以 的最小值为5. 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 46 21.[甘肃白银2024高二月考] 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而 下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是 ( ) A A.升 B.升 C.升 D. 升 题型7 数学文化中的等差数列问题 47 解析 根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列，设其首项为，公差为 . 由题意可得 所以解得 所以，即第5节竹子的容积为 升.故选A. 题型7 数学文化中的等差数列问题 48 22.[山东滨州2024高二期末] “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈 亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法 符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2 且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则 ( ) C A.17 B.37 C.107 D.128 题型7 数学文化中的等差数列问题 49 解析 因为能被3除余2且被7除余2，所以 既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数， 且，所以，即，所以 .故选C. 题型7 数学文化中的等差数列问题 50 23.[河南平顶山2023高二期末] 已知在等差数列中，，是函数 的两 个零点，则 ( ) B A.3 B.6 C.8 D.9 题型8 等差数列的综合应用 51 解析 设函数的两个零点，即方程的两个根分别为， ， . 数列为等差数列，， .故选B. 题型8 等差数列的综合应用 52 24.已知的一个内角为 ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 的面积为 ______. 题型8 等差数列的综合应用 53 解析 不妨设 ，内角,,所对的边分别为,,,令，则， . 由余弦定理得，解得 . 所以 . 题型8 等差数列的综合应用 54 1.2 1.2.1 等差数列及其通项公式+1.2.2 等差数列与一次函数 刷提升 55 1.若等差数列满足,，则等差数列的公差 ( ) D A.2 B.1 C.0 D. 56 解析 , .故选D. 57 2.[山东青岛即墨区2024高二期中] 已知在等差数列中，，，则 ( ) A A.14 B.16 C.4 D.10 58 解析 因为,所以.又,即,所以 ，故选A. 59 3.[河北唐山开滦一中2024高二月考] 若不全相等的非零实数,,成等差数列且公差为，那么 , , ( ) B A.可能是等差数列 B.一定不是等差数列 C.一定是等差数列，且公差为 D.一定是等差数列，且公差为 60 解析 若,,是等差数列，则，因为,,成等差数列，所以，则 , 整理化简得，与非零实数,,不全相等矛盾，所以,, 一定不是等差数列.故选B. 61 4.[甘肃兰州一中2023高二期中] 数列1,,,， 的第 项为( ) D A. B. C. D. 62 解析 数列,,,, 的底数1,3,5, 构成等差数列，第项为；指数0,1,2, 构成 等差数列，第项为.所以数列1,,,， 的第项为 .故选D. 63 5.[河南郑州十校联考2023高二期中] 已知，均为等差数列，且，， ， 则数列 的前5项和为( ) A A.35 B.40 C.45 D.50 64 解析 由题知，均为等差数列，且，，，所以，得 ， 所以数列 的前5项和为 .故选A. 65 6.已知等差数列满足 ，则该数列中一定为零的项为( ) B A. B. C. D. 66 解析 设数列的公差为 . ,, , , .故选B. 67 7.等差数列中，，公差为，，，则公差 的值 为( ) A A.1 B.0 C. D. 68 解析 ，，又 ， ，即，解得，由于，所以 ，故选A. 69 8.[山东聊城2024高二月考] 已知数列，的通项公式分别为和 ， 设这两个数列的公共项构成集合，则集合, 中元素的个数为( ) C A.166 B.168 C.169 D.170 70 解析 由题意可知，数列为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29， ， 数列为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37， ， 将集合A中的元素由小到大进行排序，构成数列为5，17，29， ， 易知数列是首项为5，公差为12的等差数列，则 . 由，可得，因此，集合, 中元素 的个数为169.故选C. 71 【规律方法】求两个等差数列的公共项的方法 若等差数列,的公差分别为,,则数列， 的相同的项仍然构成一个等差数列,其 公差为,的最小公倍数，首项为数列, 中第一个相同的项. 72 9.已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的 ，都 有成立，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 73 解析 由已知可得 . 对任意的，都有成立，，即 . 又数列是首项为，公差为1的等差数列，，且 是递增数列， 当 时，，,，即解得 .故选B. 74 10.（多选）[湖南岳阳2024高二期末] 已知各项均为正数的等差数列单调递增，且 ， 则( ) BCD A.公差的取值范围是 B. C. D. 75 解析 由题意得,,，所以，解得，所以 ，故A错误； ，故B正确； 由，得 ，故C正确； 由等差数列的性质，得，故D正确.故选 . 76 11.在等差数列中，,,，则数列 的公差为______. 77 解析 设的公差为，则， ， ， 即, . 78 12.[湖南益阳六校2023高二期末联考] 已知在等差数列中，，，若在数列 中每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为____. 31 79 解析 设等差数列的公差为，则 . 在数列中每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为 ，故新数列的首项 ，故的通项公式为，故 . 80 13.已知数列满足,，则 ___. 5 81 【思路导引】由题知，进而得 是首项为9，公差为3的等差数列，再根 据等差数列通项公式和对数运算得，最后求解 即可. 82 解析 由,得，，即 ，又 ，所以 是首项为9，公差为3的等差数列，因此 ，所以 ，所 以，故 . 83 14.[重庆西南大学附中等三校2024高二联考] 已知是等差数列，若， . （1）求 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为，，，则 ， 所以， . 84 （2）证明数列 是等差数列. 【证明】因为 ， 又 , 所以数列是首项为0，公差为 的等差数列. 85 15.[江西南昌2023高二调研] 已知数列满足， ，且 . （1）求数列 的通项公式； 【解】当时，， 为等差数列，设公差为 ，， . 86 （2）对于，将数列中落在区间内的项的个数记为，求数列 的通项公式. [答案] 由（1）得，， ， ，， ，， . 87 16.已知数列的首项为2，前项和为，且 . （1）求 的值； 【解】，且 ， ,解得 . 88 （2）设，求数列 的通项公式； [答案] 由 ， 可得 ，① .② 由得,， , ,即,即 . 又， 数列是首项为 ，公差为1的等差数列, . 89 （3）求数列 的通项公式. [答案] 由（2）可得 ， ， ， ，又 也满足上 式, . 90 17.有穷等差数列5，8，11， ， 的项数是( ) D A. B. C. D. 易错点1 误认通项公式致错 91 解析 在中，令 得14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数 列的项数为 .故选D. 易错点1 误认通项公式致错 92 【易错警示】本题易误认为为数列的通项公式，其实它为数列的最后一项，而不是第 项. 易错点1 误认通项公式致错 93 18.已知数列的前项和，判断 是否为等差数列. 【解】当时，；当 时， ， 当时， 不满足上式， , 不是等差数列. 易错点2 判断等差数列时忽视的取值而致误 94 【易错警示】本题容易产生如下错解： , （常数）， 数列 是等差数列.这是因为忽视了 中的最小值是2，因此使用时 的最小值是2，只能得到 ,而不含 . 易错点2 判断等差数列时忽视的取值而致误 95 19.若等差数列的首项为，且从第10项开始各项均大于1，则公差 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点3 忽略隐含条件致错 96 解析 设该数列为， 数列从第10项开始比1大， 则 . 易错点3 忽略隐含条件致错 97 【易错警示】解答本题易出现的错误是忽略隐含条件 的取值范围，导致公差的取值范围变大. 易错点3 忽略隐含条件致错 98 20.[山西大学附属中学2023高二月考] 一个首项为23，公差为整数的等差数列，若前6项均为正 数，第7项起为负数，则它的公差为____. 易错点3 忽略隐含条件致错 99 解析 设该数列为，其公差为，且 为整数. 由题意得，，所以，且 ，解得 . 又为整数，则公差 . 易错点3 忽略隐含条件致错 100 【易错警示】求解本题的关键是根据题意正确列出满足条件的关于公差 的不等式，求解时要注 意 . 易错点3 忽略隐含条件致错 101 $$