6.3.3 空间角的计算-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步课件 (苏教版2019)

数学 选择性必修 第二册 SJ 1 6.3 6.3 空间向量的应用 2 6.3 6.3.3 空间角的计算 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.[北京第四中学2023高二期中] 在正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，则直线 和 所成角的余弦值是( ) D A. B. C. D. 题型1 求两直线的夹角 5 解析 以 为坐标原点， , , 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的 空间直角坐标系， 设正方体的棱长为4，则 , , , ，所以 , ,所以 ,所以 , ,故 选D. 题型1 求两直线的夹角 6 【规律方法】求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线所成的角，再利用平面几何性质求解. 题型1 求两直线的夹角 7 高中必刷题 主讲老师 2.[辽宁沈阳重点高中联合体2023高二期中] 已知四棱锥 的底面 是边长为2的正 方形， 平面 ，边 ， 的中点分别为 ， .若直线 与 所成角的余弦值为 ，则 ( ) C A.2 B. C.4 D.1 题型1 求两直线的夹角 9 解析 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .设 ，则 ， ， ， ，所以 ,1, ，所以 ， .因为 直线 与 所成角的余弦值为 ，所以 , ，解得 （负值舍去），也即 .故选C. 题型1 求两直线的夹角 10 高中必刷题 主讲老师 3.[山东烟台2023高二期中] 如图， 和 均是边长为2的正三 角形， 是以 为斜边的等腰直角三角形，则异面直线 与 夹角的大小为( ) C A. B. C. D. 题型1 求两直线的夹角 12 解析 由于 ，所以 ， 即 , ,化简得 , ， 由于 , ,所以 , ，故异面直线 与 夹角的大小为 ，故选C. 题型1 求两直线的夹角 13 【归纳总结】利用数量积求异面直线所成的角或余弦值的思路 题型1 求两直线的夹角 14 高中必刷题 主讲老师 4.如图，在棱长为 的正方体 中，求异面直线 和 所成角的大小. 题型1 求两直线的夹角 16 【解】因为 ， ， 所以 . 因为 ， ， ， 所以 ， ， ，而 ，所以 . 所以 ， ， 所以 ， . 又因为异面直线所成角 的取值范围为 , 所以异面直线 和 所成角的大小为 . 题型1 求两直线的夹角 17 【多种解法】 以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标 系，则 ， ， ， ， 所以 ， . 所以 ， ，所以 ， . 又因为异面直线所成角 的取值范围为 ,所以异面直线 和 所成角的大小为 . 题型1 求两直线的夹角 18 高中必刷题 主讲老师 5.如图，在三棱锥 中， ， ， ， . （1）求证： ； 题型1 求两直线的夹角 20 【证明】如图，以点 为原点，垂直于 的直线为 轴， ， 所在直线分别 为 轴、 轴建立空间直角坐标系，则由 ， ， ，得 ， ， , ， , , , ， , 即 . 题型1 求两直线的夹角 21 （2）求 与 所成的角的余弦值. 【解】设 与 所成的角为 . ， , ， , ， 与 所成的角的余弦值为 . 题型1 求两直线的夹角 22 高中必刷题 主讲老师 6.[山东济宁2022高二期中] 在正方体 中， 与平面 所成角的正弦值 为( ) D A. B. C. D. 题型2 求直线与平面所成的角 24 解析 设正方体 的棱长为1，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分 别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， . 设平面 的法向量为 ， ， ， 题型2 求直线与平面所成的角 25 取 ，可得 ， ， 则 , ， 与平面 所成角的正弦值为 . 故选D. 题型2 求直线与平面所成的角 26 高中必刷题 主讲老师 7.[河南豫南名校2023高二期中] 如图，在正三棱