考点测试46 成对数据的统计分析-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷课件PPT（新教材）

第一部分　考点通关练 第八章　概率与统计 考点测试46　成对数据的统计分析 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中、低等难度 考点 研读 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的经验回归方程系数公式建立经验回归方程 3．了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用 4．了解一元线性回归模型的基本思想、方法及其简单应用 目录 狂刷小题·基础练 KUANG SHUA XIAO TI JI CHU LIAN 精做大题·能力练 JING ZUO DA TI NENG LI LIAN 狂刷小题·基础练 KUANG SHUA XIAO TI JI CHU LIAN 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 一、基础小题 1．对三组数据进行统计，获得以下散点图，其相关系数依次是r1，r2，r3，则它们的大小关系是(　　) A．r1＞r3＞r2 B．r1＞r2＞r3 C．r2＞r1＞r3 D．r3＞r1＞r2 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　由散点图可知，图1两个变量正相关，且线性相关性较强，故r1接近1，图2两个变量负相关，且线性相关性较强，故r2接近－1，图3两个变量线性相关性较弱，所以r1＞r3＞r2.故选A. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 2．某公司一种型号的产品近期销售情况如下表： 月份(x) 2 3 4 5 6 销售额y/万元 15.1 16.3 17.0 17.2 18.4 根据上表可得到经验回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋eq \o(a,\s\up6(^))，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额约为(　　) A．19.5万元 B．19.25万元 C．19.15万元 D．19.05万元 解析　由表可知eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(15.1＋16.3＋17＋17.2＋18.4)＝16.8，则样本点的中心为(4，16.8)，在经验回归直线上，故16.8＝0.75×4＋eq \o(a,\s\up6(^))，得eq \o(a,\s\up6(^))＝13.8.故当x＝7时，eq \o(y,\s\up6(^)) ＝0.75×7＋13.8＝19.05.故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝eq \f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　) A．－1 B．0 C．eq \f(1,2) D．1 解析　由题设知，这组样本数据正相关，所有样本点都在一条直线上，故其样本相关系数为1.故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 4．(多选)自然环境中，大气压强受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压强发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．如图是根据一组观测数据得到的海拔6～15 km的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))1＝－4.0x＋68.5，决定系数为Req \o\al(2,1)＝0.99.根据非线性回归模型得到非线性经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))2＝132.9e－0.163x，决定系数为Req \o\al(2,2)＝0.99.则下列说法正确的是(　　) A．由散点图可知，大气压强与海拔负相关 B．由方程eq \o(y,\s\up6(^))＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1 km，大气压强必定降低4.0 kPa C．由方程eq \o(y,\s\up6(^))＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9 D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程eq \o(y,\s\up6(^))＝132.9e－0.163x的预报效果更好 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　观察题中散点图，可知大气压强与海拔负相关，A正确；通过经验回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝－4.0x＋68.5，可知海拔每升高1 km，大气压强大约降低4.0 kPa，B错误；当x＝11时，代入方程eq \o(y,\s\up6(^))＝－4.0x＋68.5，计算可得预报值eq \o(y,\s\up6(^))＝24.5，则残差为22.6－24.5＝－1.9，C正确；随着海拔的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程eq \o(y,\s\up6(^))2＝132.9e－0.163x的预报效果更好，D正确．故选ACD. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 α 0.10 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 * 5．(多选)电影《八角笼中》讲述了年轻人为理想而努力奋斗的故事．该电影一上映就引起了广大观众的热议，票房也超出了预期．现随机抽取若干名观众进行调查，所得数据统计如下表所示，则(　　) 喜欢该电影 不喜欢该电影 男性观众 160 40 女性观众 140 60 附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * A.若在被调查的观众中随机抽取1人，则抽到喜欢该电影的男性观众的概率为eq \f(2,5) B．在被调查的观众中，男性不喜欢该电影的比例高于女性 C．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有关联 D．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有关联 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　对于A，由喜欢该电影的男性观众有160人，得在被调查的观众中随机抽取1人，则抽到喜欢该电影的男性观众的概率为eq \f(160,400)＝eq \f(2,5)，所以A正确；对于B，因为男性不喜欢该电影的比例为eq \f(40,200)，女性不喜欢该电影的比例为eq \f(60,200)，又eq \f(60,200)>eq \f(40,200)，所以B错误；由题意可得χ2＝eq \f(400×（160×60－40×140）2,200×200×300×100)＝eq \f(16,3)≈5.333，因为3.841<5.333<6.635，所以C正确，D错误．故选AC. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 6．已知变量y关于x的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝ebx－0.5，若对eq \o(y,\s\up6(^))＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln eq \o(y,\s\up6(^))与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y的值为_________________． x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 eeq \s\up12(\f(15,2)) (或e7.5) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　对eq \o(y,\s\up6(^))＝ebx－0.5两边取对数，得ln eq \o(y,\s\up6(^))＝bx－0.5.令eq \o(z,\s\up6(^))＝ln eq \o(y,\s\up6(^))，则eq \o(z,\s\up6(^))＝bx－0.5. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 eq \o(x,\s\up12(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq \o(z,\s\up12(－))＝eq \f(1＋3＋4＋6,4)＝3.5，代入eq \o(z,\s\up12(－))＝beq \o(x,\s\up12(－))－0.5，得3.5＝b·2.5－0.5，故b＝1.6，故eq \o(z,\s\up6(^))＝1.6x－0.5，eq \o(y,\s\up6(^))＝e1.6x－0.5.当x＝5时，eq \o(y,\s\up6(^))＝e1.6×5－0.5＝eeq \s\up7(\f(15,2)). 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 二、高考小题 7．(2023·天津高考)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0.8245，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　因为相关系数r＝0.8245>0.75，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以A，B错误，C正确；因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也可能会发生变化，所以D错误．故选C. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 8．(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　由散点图分布可知，散点图分布在一个对数型函数图象的附近，因此最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y＝a＋bln x．故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 9．(2017·山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up16(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^)).已知eq \o(∑,\s\up16(10),\s\do18(i＝1))xi＝225，eq \o(∑,\s\up16(10),\s\do18(i＝1))yi＝1600,eq \o(b,\s\up12(^))＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（　　） A.160 B.163 C.166 D.170 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　eq \o(∑,\s\up16(10),\s\do18(i＝1))xi＝225，∴eq \o(x,\s\up12(－))＝eq \f(1,10) eq \o(∑,\s\up16(10),\s\do18(i＝1))xi=22.5.∵eq \o(∑,\s\up16(10),\s\do18(i＝1))yi＝1600，∴eq \o(y,\s\up12(－))＝eq \f(1,10) eq \o(∑,\s\up16(10),\s\do18(i＝1)) yi=160 又eq \o(b,\s\up16(^))＝4，∴eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up16(-)) -eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－))＝160－4×22.5＝70.∴回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝4x＋70.将x＝24代入上式得eq \o(y,\s\up6(^))＝4×24＋70＝166.故选C. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 三、模拟小题 10.（多选）（2023·湖北黄冈中学高三模拟）已知由样本数据点集合{（xi，yi）|i＝1，2，…，n}求得经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝2x－1，且eq \o(x,\s\up12(－))＝3，现发现两个数据点（2.4，3.1）和（3.6，6.9）误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，则（　　） A.变量x与y具有正相关关系 B.去除后的经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝1.2x＋1.4 C.去除后y的估计值增加速度变慢 D.去除后相应于样本点（2.5，4）的残差为0.4 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　对于A，因为经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝2x－1，2＞0，所以变量x与y具有正相关关系，故A正确；对于B，当eq \o(x,\s\up6(－))＝3时，eq \o(y,\s\up6(－))＝3×2－1＝5，样本点的中心为（3，5），去掉两个数据点（2.4，3.1）和（3.6，6.9）后，样本中心点还是（3，5），又因为去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，所以5＝3×1.2＋eq \o(a,\s\up6(^)) ，解得eq \o(a,\s\up6(^)) ＝1.4，所以去除后的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝1.2x＋1.4，故B正确；对于C，因为2＞1.2，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故C正确；对于D，因为eq \o(y,\s\up6(^))＝1.2×2.5＋1.4＝4.4，所以y－eq \o(y,\s\up6(^))=4－4.4＝－0.4，故D错误．故选ABC. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 * 11．(多选)(2023·福建师范大学附属中学高三模拟)炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择．为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100名游客，得到如下表格．零假设H0：旅行方式与年龄没有关联，则下列说法中正确的是(　　) 小于40岁 不小于40岁 自由行 38 19 跟团游 20 23 附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 A.在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为eq \f(19,50) B．在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取6人，再从中随机选取2人做进一步的访谈，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为eq \f(3,5) C．根据α＝0.01的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联，且犯错误的概率不超过0.01 D．根据α＝0.05的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误的概率不超过0.05 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　选择自由行的游客人数为38＋19＝57，故在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为eq \f(38,57)＝eq \f(2,3)，故A错误；选择自由行的游客中，小于40岁和不小于40岁的人数之比为2∶1，则按年龄分层抽样抽取的6人中，有4人小于40岁，有2人不小于40岁，设事件A为“选取的2人均小于40岁”，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为1－P(A)＝1－2,4)eq \f(C,Ceq \o\al(2,6)) ＝1－eq \f(6,15)＝eq \f(3,5)，故B正确；因为χ2＝eq \f(100×（38×23－19×20）2,（38＋19）×（20＋23）×（38＋20）×（19＋23）)≈4.087<6.635，所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，故C错误；因为χ2≈4.087>3.841，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误的概率不超过0.05，故D正确．故选BD. 精做大题·能力练 JING ZUO DA TI NENG LI LIAN 目录 精做大题 1 2 3 4 5 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 * 一、高考大题 1．(2022·新高考Ⅰ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 目录 精做大题 1 2 3 4 5 * (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，eq \f(P（B|A）,P（\o(B,\s\up18(－))|A）)与eq \f(P（B|\o(A,\s\up18(－))）,P（\o(B,\s\up18(－))|\o(A,\s\up18(－))）)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. (ⅰ)证明：R＝eq \f(P（A|B）,P（\o(A,\s\up18(－))|B）)·eq \f(P（\o(A,\s\up18(－))|\o(B,\s\up18(－))）,P（A|\o(B,\s\up18(－))）)； 目录 精做大题 1 2 3 4 5 * (ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|eq \o(B,\s\up18(－)))的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值． 附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)， P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * 解　(1)列表： 不够良好 良好 合计 病例组 40 60 100 对照组 10 90 100 合计 50 150 200 χ2＝eq \f(200×（40×90－60×10）2,100×100×50×150)＝eq \f(2×（4×9－6×1）2,5×15) ＝24>6.635， 故有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * (2)(ⅰ)证明：由题意R＝eq \f(\f(P（B|A）,P（\o(B,\s\up18(－))|A）),\f(P（B|\o(A,\s\up18(－))）,P（\o(B,\s\up18(－))|\o(A,\s\up18(－))）))＝eq \f(\f(P（AB）,P（A）),\f(P（A\o(B,\s\up18(－))）,P（A）))÷eq \f(\f(P（\o(A,\s\up18(－))B）,P（\o(A,\s\up18(－))）),\f(P（\o(A,\s\up18(－))\o(B,\s\up18(－))）,P（\o(A,\s\up18(－))）))＝eq \f(P（AB）,P（A\o(B,\s\up18(－))）)·eq \f(P（\o(A,\s\up18(－))\o(B,\s\up18(－))）,P（\o(A,\s\up18(－))B）)， 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * 而eq \f(P（A|B）,P（\o(A,\s\up18(－))|B）)·eq \f(P（\o(A,\s\up18(－))|\o(B,\s\up18(－))）,P（A|\o(B,\s\up18(－))）)＝eq \f(\f(P（AB）,P（B）),\f(P（\o(A,\s\up18(－))B）,P（B）))·eq \f(\f(P（\o(A,\s\up18(－))\o(B,\s\up18(－))）,P（\o(B,\s\up18(－))）),\f(P（A\o(B,\s\up18(－))）,P（\o(B,\s\up18(－))）))＝eq \f(P（AB）,P（\o(A,\s\up18(－))B）)·eq \f(P（\o(A,\s\up18(－))\o(B,\s\up18(－))）,P（A\o(B,\s\up18(－))）). 故R＝eq \f(P（A|B）,P（\o(A,\s\up18(－))|B）)·eq \f(P（\o(A,\s\up18(－))|\o(B,\s\up18(－))）,P（A|\o(B,\s\up18(－))）). 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * (ⅱ)由调查数据可得P(A|B)＝eq \f(40,100)＝eq \f(2,5)，P(A|eq \o(B,\s\up18(－)))＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10)， 且P(eq \o(A,\s\up18(－))|B)＝1－P(A|B)＝eq \f(3,5)，P(eq \o(A,\s\up18(－))|eq \o(B,\s\up18(－)))＝1－P(A|eq \o(B,\s\up18(－)))＝eq \f(9,10)，所以R＝eq \f(\f(2,5),\f(3,5))×eq \f(\f(9,10),\f(1,10))＝6. 目录 精做大题 1 2 3 4 5 * 2．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得eq \o(∑,\s\up18(10),\s\do18(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝0.038，eq \o(∑,\s\up18(10),\s\do18(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝1.6158，eq \o(∑,\s\up18(10),\s\do18(i＝1))xiyi＝0.2474. 目录 精做大题 1 2 3 4 5 * (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r＝eq \f(\o(∑,\s\up18(n),\s\do18(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up18(－))）（yi－\o(y,\s\up18(－))）,\r(\o(∑,\s\up18(n),\s\do18(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up18(－))）2\o(∑,\s\up18(n),\s\do18(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up16(－))）2))，eq \r(1.896)≈1.377. 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * 解　(1)设这种树木平均一棵的根部横截面积为eq \o(x,\s\up18(－))，平均一棵的材积量为eq \o(y,\s\up18(－))， 则eq \o(x,\s\up18(－))＝eq \f(0.6,10)＝0.06，eq \o(y,\s\up18(－))＝eq \f(3.9,10)＝0.39. (2)r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up18(10),\s\do18(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up18(－)) \o(y,\s\up18(－)),\r(（\o(∑,\s\up18(10),\s\do18(i＝1))x－10\o(x,\s\up18(－))2）（\o(∑,\s\up18(10),\s\do18(i＝1))yeq \o\al(2,i)－10\o(y,\s\up18(－))2）)) ＝eq \f(0.2474－10×0.06×0.39,\r(（0.038－10×0.062）×（1.6158－10×0.392）)) 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * ＝eq \f(0.0134,\r(0.002×0.0948))＝eq \f(0.0134,0.01×\r(1.896))≈eq \f(0.0134,0.01377)≈0.97. (3)设所有这种树木的根部横截面积总和为X，总材积量为Y， 则eq \f(X,Y)＝eq \f(\o(x,\s\up18(－)),\o(y,\s\up18(－)))，故Y＝eq \f(3.9,0.6)×186＝1209(m3)． 目录 精做大题 1 2 3 4 5 * 二、模拟大题 3．(2024·山东济南高三上学期开学摸底考试)随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018～2022年的线下销售额如下： 年份编号x 1 2 3 4 5 年份 2018 2019 2020 2021 2022 销售额y(单位：万元) 1513 1465 1202 1060 860 (1)由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系，请用相关系数加以说明； 目录 精做大题 1 2 3 4 5 * (2)建立y关于x的回归方程，并预测2024年该商场的线下销售额． 参考公式及数据：r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up18(n),\s\do18(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up18(－))\o(y,\s\up18(－)),\r(（\o(∑,\s\up18(n),\s\do18(i＝1))x－n\o(x,\s\up18(－))2）（\o(∑,\s\up18(n),\s\do18(i＝1))yeq \o\al(2,i)－n\o(y,\s\up18(－))2）)) ， eq \o(b,\s\up18(^))＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up18(n),\s\do18(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up18(－))\o(y,\s\up18(－)),\o(∑,\s\up18(n),\s\do18(i＝1))x－n\o(x,\s\up18(－))2) ，eq \o(a,\s\up18(－))＝eq \o(y,\s\up18(－))－eq \o(b,\s\up18(－)) eq \o(x,\s\up18(－))，eq \o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))yi＝6100， eq \o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))xiyi＝16589，(eq \o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))xeq \o\al(2,i)－5eq \o(x,\s\up18(－))2)(eq \o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))yeq \o\al(2,i)－5eq \o(y,\s\up18(－))2) ≈1736. 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * 解　(1)由已知数据，得eq \o(x,\s\up18(－))＝3，eq \o(y,\s\up18(－))＝eq \f(\o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))yi,5)＝eq \f(6100,5)＝1220， 所以eq \o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))xiyi－5eq \o(x,\s\up18(－)) eq \o(y,\s\up18(－))＝16589－5×3×1220＝－1711， 所以r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up18(－))\o(y,\s\up18(－)),\r(（\o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))x－5\o(x,\s\up18(－))2）（\o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))yeq \o\al(2,i)－5\o(y,\s\up18(－))2）)) ≈eq \f(－1711,1736)≈－0.9856， 因为|r|非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系． 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * (2)由已知数据，得eq \o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＝55， 所以eq \o(b,\s\up18(^))＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up18(－))\o(y,\s\up18(－)),\o(∑,\s\up18(5),\s\do18(i＝1))x－5\o(x,\s\up18(－))2) ＝eq \f(16589－5×3×1220,55－5×32)＝－171.1， 5eq \o(a,\s\up18(^))＝eq \o(y,\s\up18(－))－eq \o(b,\s\up18(－)) eq \o(x,\s\up18(－))＝1220－(－171.1)×3＝1733.3， 所以y关于x的回归方程为eq \o(y,\s\up18(^))＝－171.1x＋1733.3. 令x＝7，则eq \o(y,\s\up18(－))＝－171.1×7＋1733.3＝535.6(万元)． 所以预测2024年该商场的线下销售额为535.6万元． 目录 精做大题 1 2 3 4 5 * 4．(2024·重庆渝北中学高三上学期月考)体育强则中国强．站在“两个一百年”奋斗目标交汇的历史节点上，作为教育部直属重点大学附中，西南大学附中始终高度重视学校体育工作，构建德智体美劳全面培养的教育体系．现从该校随机抽取100名学生调查其运动习惯(称每周运动不少于3次的为运动达标，否则为运动不达标)，得到如下数据： 运动达标 运动不达标 合计 男 25 40 女 40 合计 目录 精做大题 1 2 3 4 5 * (1)补全2×2列联表，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为运动达标与性别有关联？ (2)用样本估计总体，将频率视为概率，现从该校所有男生中随机抽取1人进行调查，从该校所有女生中随机抽取2人进行调查，抽取的学生运动是否达标相互独立，设随机变量X表示这3人中运动达标的人数，求X的分布列与数学期望． 附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * 解　(1)列联表补充填写如下： 运动达标 运动不达标 合计 男 25 15 40 女 20 40 60 合计 45 55 100 由表中数据可得， χ2＝eq \f(100×（25×40－15×20）2,40×60×45×55)＝eq \f(2450,297)≈8.249>7.879， 故根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能认为运动达标与性别有关联． 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * (2)由题意可得，每名男生运动达标的概率为 eq \f(25,40)＝eq \f(5,8)，每名女生运动达标的概率为eq \f(20,60)＝eq \f(1,3)， 随机变量X的所有可能取值是0，1，2，3， P(X＝0)＝eq \f(3,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(2)＝eq \f(12,72)＝eq \f(1,6)， P(X＝1)＝eq \f(5,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(2)＋eq \f(3,8)×Ceq \o\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(32,72)＝eq \f(4,9)， P(X＝2)＝eq \f(3,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(2)＋eq \f(5,8)×Ceq \o\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,72)， 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * P(X＝3)＝eq \f(5,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(2)＝eq \f(5,72)， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,6) eq \f(4,9) eq \f(23,72) eq \f(5,72) 所以X的期望E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(4,9)＋2×eq \f(23,72)＋3×eq \f(5,72)＝eq \f(93,72)＝eq \f(31,24). 目录 精做大题 1 2 3 4 5 * 5．(2024·重庆市七校高三上学期开学考试)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y ℃关于时间x(min)的回归方程模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图． eq \o(y,\s\up18(－)) eq \o(ω,\s\up18(－)) eq \o(∑,\s\up18(7),\s\do18(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up18(－)))(yi－eq \o(y,\s\up18(－))) eq \o(∑,\s\up18(7),\s\do18(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up18(－)))(ωi－eq \o(ω,\s\up18(－))) 73.5 3.85 －95 －2.24 表中：ωi＝ln (yi－25)，eq \o(ω,\s\up18(－))＝eq \f(1,7) eq \o(∑,\s\up18(7),\s\do18(i＝1))ωi 目录 精做大题 1 2 3 4 5 * (1)根据散点图判断，①y＝a＋bx与②y＝d·cx＋25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程； (3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳，根据(2)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 附：①对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线eq \o(v,\s\up14(^))＝eq \o(α,\s\up14(^))＋eq \o(β,\s\up18(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \o(β,\s\up8(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up18(n),\s\do18(i＝1)) （ui－\o(u,\s\up18(－))）（vi－\o(v,\s\up18(－))）,\o(∑,\s\up18(n),\s\do18(i＝1)) （ui－\o(u,\s\up18(－))）2)，eq \o(α,\s\up18(^))＝eq \o(v,\s\up18(－))－eq \o(β,\s\up18(^)) eq \o(u,\s\up18(－))； ②参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7. 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * 解　(1)根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，②y＝d·cx＋25更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型． (2)由y＝d·cx＋25，有y－25＝d·cx，两边取自然对数，得ln (y－25)＝ln (d·cx)＝ln d＋xln c，设ω＝ln (y－25)，a＝ln d，b＝ln c， 则ω＝bx＋a，又eq \o(x,\s\up18(－))＝eq \f(0＋1＋2＋3＋4＋5＋6,7)＝3， 所以eq \o(∑,\s\up18(7),\s\do18(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up18(－)))2＝28，所以eq \o(b,\s\up18(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up15(7),\s\do18(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up18(－))）（ωi－\o(ω,\s\up18(－))）,\o(∑,\s\up15(7),\s\do18(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up18(－))）2)＝eq \f(－2.24,28)＝－0.08， 所以eq \o(a,\s\up14(^))＝eq \o(ω,\s\up14(－))－eq \o(b,\s\up14(^)) eq \o(x,\s\up14(－))＝3.85＋0.08×3＝4.09，eq \o(c,\s\up14(^))＝e－0.08，所以eq \o(d,\s\up14(^))＝e4.09. 所以回归方程为eq \o(y,\s\up18(^))＝e4.09·e－0.08x＋25＝e4.09－0.08x＋25. 目录 精做大题 1 2 3 4 5 解 * (3)将eq \o(y,\s\up6(^))＝60代入回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝e4.09－0.08x＋25，得60＝e4.09－0.08x＋25， 化简，得35＝e4.09－0.08x，即4.09－0.08x＝ln 35， 又e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7， 所以ln 60－0.08x≈ln 35， 即0.08x≈ln 60－ln 35＝ln eq \f(12,7)＝ln 12－ln 7＝(2ln 2＋ln 3)－ln 7≈2×0.7＋1.1－1.9＝0.6， 所以x≈eq \f(0.6,0.08)＝7.5， 所以大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感． 　　　　　　　　　　　　　 R $$