2.2.3 因式分解法-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（湘教版）

数 学 九年级上册 XJ 1 2 3 第2章 一元二次方程 4 2.2 一元二次方程的解法 2.2.3 因式分解法 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利用提公因式法解一元二次方程 1.【2023湖南永州期中】小明在解方程时，只得出一个根 ，则漏 掉的一个根是( ) B A. B. C. D. 【解析】，，所以， ，即漏掉的一个根是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 归纳总结 缺常数项的一元二次方程，如 ，直接利用提公因式法变形为 ，求得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识点2 利用平方差公式解一元二次方程 2.【2024辽宁辽阳期末】三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方 程 的一个实数根，则该三角形的周长是( ) B A.23 B.23或33 C.24 D.24或30 【解析】原方程可变形为 ， ，解得， 三角形两边的长分别是7和11， 第三边的长，即 第三边的长， ，11，5和7，11， 15都能组成三角形， 该三角形的周长是或 .故 选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 思路分析 先求出方程的解，再根据三角形三边之间的关系得到第三边的长，即可确定该三 角形的周长. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 3.下面是大壮同学解方程 的过程，请你认真阅读并回答问 题： 解： ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） 或 ，（第四步） 解得, .（第五步） （1）①以上解方程过程中，主要是依据____________来求解的.（填“配方法” 或“公式法”或“因式分解法”） ②第____步开始出现错误，错误的原因是___________________________________ ___________________________. 因式分解法 三 去括号错误，括号外是“-”，去掉括号时，括号内每一项都要变号 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （2）请直接写出本题的正确结果. 【解】, . 第三步的正确结果为，或 ,解 得, ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 知识点3 利用十字相乘法解一元二次方程 4.在解关于的一元二次方程时，小红看错了常数项 ，得到方程 的两个根是，1.小明看错了一次项系数，得到方程的两个根是5， ，则原来 的方程是( ) B A. B. C. D. 【解析】 小红看错了常数项，得到方程的两个根是，1， 此时方程为 ,即, 小明看错了一次项系数 ，得到 方程的两个根是5，， 此时方程为,即 , ，则原来的方程是 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 5. 开放性试题【2024湖南娄底校级调研】类比因式分解法，写出一个以 为 未知数，以 和4为根的一元二次方程：______________________________. （答案不唯一） 【解析】 根据题意得，即 ，故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 6.【2023黑龙江哈尔滨期中】等腰三角形一边长是6，另一边长是方程 的根，则该等腰三角形的周长为____________. 14或15或16 【解析】 ，，则或 ， 解得或.当 时，等腰三角形的三边长为3，3，6或6，6，3，边长为 3，3，6时构不成三角形，边长为6，6，3时周长为15；当 时，等腰三角形的 三边长为4，4，6或6，6，4，此时周长为14或16.综上，该等腰三角形的周长为14 或15或16.故答案为14或15或16. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 刷易错 易错点 解方程时，方程两边同除以含有未知数的代数式导致 失根 7.小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下框： 小敏： 两边同除以 ， 得 ， 则 . 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 , 则或 ， 解得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 她们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”， 并写出你的解答过程. 【解】两位同学的解法都错误，如下框. 小敏： 两边同除以 ， 得 ， 则 ． 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ， 则或 ， 解得， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 解答过程如下： , 移项，得 ， 提取公因式，得 ， 去括号，得 ， 则或，解得， ． 易错警示 当时，方程两边同除以 不符合等式的性质，所以当代数式的值不 确定时，方程两边不能同除以含未知数的代数式 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 提升 1.［中］点的横、纵坐标恰好是方程的两个根，则经过点 的 正比例函数图象一定过( ) B A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一象限 D.第四象限 【解析】，，或 ， , 点的横、纵坐标恰好是方程的两个根， 点的坐标为或， 经过点 的正比例函数图象一定过第二、四象 限．故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 2.【2024河南周口质检，中】若实数满足方程 ， 那么 的值为( ) B A.或4 B.4 C. D.2或 【解析】设，则原方程化为，所以 ， 解得或.当时，，此时方程有解;当 时， ，此时方程无实数解，舍去，所以 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 3.【2024湖南郴州期中，中】菱形的一条对角线长为6，边 的长是方程 的一个根，则菱形 的周长等于( ) C A.10 B.12 C.16 D.12或16 【解析】解方程得或4，即或 四边形 是菱 形，.当，时， ，不符合三角 形三边关系，舍去；当， 时，符合三角形三边关系，此时菱 形的周长是 .故选C. 易错警示 解方程求出菱形的边长后，要根据三角形三边关系进行取舍. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 4.［中］对于实数,,,，我们定义运算 ，例如： .若，则 ______. 2或4 【解析】 根据题中的新定义得 ，即 ，，解得或 ．故答案为2或4． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 5.［中］解关于的一元二次方程，其中 是满足不等式组 的整数，则一元二次方程的解为_______________. , 【解析】 由①得，由②得， 不等式组 的解集是， 整数的值为0或1.将 整理得.又是关于 的一元二次方 程，，即，， 关于 的一元二次方程是 ，即，或， ， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 6. 【2023江苏扬州期末，较难】如图，线段， 的长是方程 的两根，点是轴正半轴上一点，连接，以点 为旋转中心， 将线段顺时针旋转 得到线段，连接，当线段 的长取最小值时，点 的坐标是______，此时线段 的长为_____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 【解析】 ，，或 线段 ， 的长是方程的两根，， ， ，，.设，如图，过点作轴于点 . 易证，， ， ， ， 时， 的长最小，最小值为，此时. 故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 7.［较难］ （1）根据要求，解答下列问题： ①方程 的解为____________； ②方程 的解为_______________； ， ③方程 的解为_______________； …. ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程 的解为_______________； ②关于的方程_____________________的解为， ． ， （3）请用配方法解方程 ，以验证猜想的正确性． 【解】，，， , ，， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 8.【2024湖南岳阳期中，中】已知在平面直角坐标系中，点，都在 轴正半轴 上，且线段，的长分别等于方程的两个根，点 在轴正半轴上，且，求，， 三点坐标. 【解】，即，解得 ， ，， 点，都在轴正半轴上， ， .又，.又 点在轴正半轴上, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 刷素养 走向重高 9.思想方法 数形结合［中］如图（1），矩形中，点为的中点，点 沿 从点运动到点，设，两点间的距离为，，图（2）是点 运 动时随变化的关系图象，则 的长为( ) C A.4 B.5 C.6 D.7 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 【解析】由题图（2）可知，当点位于B点时，，即 .当 点位于点时，，即，则 , ,即, , 点为的中点， .故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 $$