2.3 确定圆的条件-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 对称图形——圆 4 2.3 确定圆的条件 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 确定圆的条件 1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为 了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是 ( ) A A.① B.② C.③ D.④ 【解析】第①块碎片中有一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，再分别作出 这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长. 故选A. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.【2023浙江湖州吴兴区质检】平面上有四个点，过其中任意三个点一共能确定 圆的个数为( ) C A.0或3或4 B.0或1或3 C.0或1或3或4 D.0或1或4 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 【解析】如图（1），当四点在同一条直线上时，不能确定圆;如图（2）,当四点 共圆时，只能作一个圆;如图（3）,当三点在同一条直线上时，可以作三个圆；如 图（4），当四点不共圆，且没有三点共线时，可以作四个圆．故选C． 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第3题图） 3.【2023北京西城区期末】如图，在平面直角坐标系 中，点 ，， 的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆 弧所在圆的圆心坐标为______. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 【解析】 从题图可知,点的坐标是，点的坐标是， 点 的坐标是.如图,连接，分别作线段和线段 的垂直平分 线,，两直线交于点，则是圆弧所在圆的圆心， 点的坐标 是，故答案为 ． 关键点拨 连接,作线段和 的垂直平分线,两直线的交点即为所求的圆心. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 知识点2 三角形的外接圆 （第4题图） 4.如图，在平面直角坐标系中，点,,的坐标分别为 ， ，，则以,, 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ( ) A A. B. C. D. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 【解析】如图，作,的垂直平分线，交点即为外接圆的圆心， 的 坐标是 .故选A. （第4题图） 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （第5题图） 5.【2023江苏淮安调研】如图，在中， ，将 绕点按逆时针方向旋转 得到，点 在直线 上，若，则点和 的外心之间的距离是( ) B A.1 B. C. D. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （第5题图） 【解析】由题意可知， .在 中， ，，， ， .设的外心为点 ， 外心在斜边的中点处， ， .故选B. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （第6题图） 6.【2024广西玉林调研】如图，在 的网格中，各小正方形 的边长均为1，点，，，，，均在格点上，点是 的外心，在不添加其他字母的情况下，除 外把你认为外心 也是 的三角形都写出来：________________________. ，， 【解析】 连接,,,,.由题图可知 ， ，， ， ，，， ， 的外心都是点，故答案为，， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是 的中 点． （1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心 .（要求保留作图 痕迹，不写作法） 【解】如图（1），点 为所求. 图（1·） 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （2）若点到弦的距离为，，求 所在圆的半径． 【解】 连接，，交于，如图（2）.为的中点， ， .设的半径为，则 ， .在中, ， ，解得，即所在圆的半径是 . 图（2） 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 刷易错 易错点 外心位置未知的情况下忽视分类讨论而致错 8.在中，，，已知是的外接圆，且 的半径 为5，则 的长为( ) C A. B. C.或 D.或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 【解析】如图（1）所示，过点A作于点D，交于点，连接 ,则易 证必过点，，的半径为5，， ， ， ， ;如图（2）所示,过点A作 于点D， 交于点，连接,则易证必过点，， 的半径为 5，，，， ， .综上，的长为或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 图（1） 图（2） 易错警示 利用等腰三角形的性质,结合勾股定理计算时,要就外心是否在三角形内部进行分 类讨论,否则就会漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 提升 （第1题图） 1.【2023河北邯郸丛台区期末,中】如图，为锐角三角形 的外 心，四边形为正方形，其中点在 的外部，判断下列叙 述不正确的是( ) D A.是的外心 B.是 的外心 C.是的外心 D.是 的外心 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】如图,连接,,为锐角三角形 的外心， 四边形为正方形， ， ，是 的外心. ，是 的外心. ，是的外心.，不是 的外 心．故选D. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （第2题图） 2.【2023江苏宿迁期末，中】如图，线段，为线段 上 的一个动点，分别以，为边作等边和等边 ， 外接于，则 半径的最小值为( ) B A.6 B. C. D.3 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】如图，分别作与 的平分线，交点为 和都是等边三角形，与分别为 ， 的垂直平分线.又 圆心在，的垂直平分线上， 交 点与圆心重合.连接.若半径 最短，则 ，，，， 在 中，,由勾股定理得， , ，即半径的最小值为 .故选B. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 思路分析 分别作与的平分线，交点为.由三线合一可知与分别为， 的垂直平分线,再由外接圆可知圆心在，的垂直平分线上，则交点 与圆心 重合.连接，若半径最短，则.由为底边长为6，底角为 的等腰三角形，可求得 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 3.【2023江苏扬州仪征调研，中】已知直线，点，点 ，设 点为直线上一动点，当点的坐标为________时，过,, 三点不能作出一个圆. 【解析】 设直线的表达式为， ， 解得．联立方程组 解得 当点的坐标为时，过，， 三点不能作出一个圆． 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 4.【2023云南临沧期末，中】在中，，,高 ，设能 完全覆盖的圆的半径为，则 的最小值为______. 5或4 【解析】 如图，当在内部时，， ，高 ，，， . , 是以为斜边的直角三角形， 能完 全覆盖的圆的半径的最小值为.当在 外部，即 是 钝角三角形时， 以为直径的圆是能完全覆盖的最小圆， 能完全覆盖 的圆的半径的最小值为.综上， 的最小值为5或4.故答案为5或4． 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 5.【2023湖北武汉期末，较难】如图是一个含有3个正方形的相框，其中 ，，， ，将它镶嵌在一个圆形的金属 框上，使，， 三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是_____. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】 如图,连接，作线段和线段 的垂直平分线交于 点，的垂直平分线交于点，交于点，连接 ，则 ,,三点刚好在以点为圆心， 为半径的圆上. ，，， ， ，，，，点为线段 的中点. ，， ， 是等腰直角三角形, ，， ， ．故答案为． 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 图（1） 6.［中］如图（1），中，，是平面内不与 ， ，重合的任意一点，， ． （1）求证： . 【证明】， ， . 在与中， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 图（2） （2）如图（2），当点是 的外接圆圆心时，请判断四边形 的形状，并证明你的结论． 【解】四边形 是菱形.证明如下： 同（1）可证， 点是 的外接圆 圆心，.又， ， 四边形 是菱形. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 7.【2023江苏淮安质检，中】定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做 该三角形的外心. 图（1） （1）如图（1），是等边三角形，点是 的外心，求证： . 【证明】是等边三角形， ， 点是的外心，.在 与 中， ， ， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）如图（2），是等边三角形，分别延长等边三角形的边， ， 到点，，，使，连接，，.若点为 的外心， 求证：点也是 的外心. 图（2） 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 【解】 连接，，，如图.由（1）得， 点 为 的外心， ， ， ， ， 即.在与中， ，.同理，，， 点 也是 的外心. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 $$