精品解析：福建省福州市2023-2024学年高三下学期4月末质量检测数学试卷

2023—2024学年福州市高三年级4月末质量检测 数学试题 （完卷时间120分钟；满分150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零复数满足，则（ ） A 1 B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 34 D. 74 7. 数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为，后三项成等比数列，且公比为．若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 四棱锥的顶点均在球的球面上，底面为矩形，平面平面，，，，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是（ ） 甲 乙 87 90 96 91 86 90 86 92 87 95 A. 甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差 B. 甲选手射击环数平均数等于乙选手射击环数的平均数 C. 甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差 D. 甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数 10. 已知函数满足，且，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在区间单调递减 11. 已知函数恰有三个零点，，，且，则（ ） A. B. 实数的取值范围为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量在向量上投影向量为，则等于______． 13. 倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为线段的中点，为上一点，则的最小值为______． 14. 如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则该六面体的体积等于________，表面积等于______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，（）． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 16. 甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差服从正态分布，规定的零件为优等品，的零件为合格品． （1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）； （2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）． （附：若随机变量，则，，） 17. 如图，以正方形边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是上的一点，，分别为线段，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 点是椭圆：（）上（左、右端点除外）的一个动点，，分别是的左、右焦点. （1）设点到直线：的距离为，证明为定值，并求出这个定值； （2）的重心与内心（内切圆的圆心）分别为，，已知直线垂直于轴. （ⅰ）求椭圆的离心率； （ⅱ）若椭圆长轴长为6，求被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围. 19. 记集合，集合，若，则称直线为函数在上的“最佳上界线”；若，则称直线为函数在上的“最佳下界线”． （1）已知函数，．若，求的值； （2）已知． （ⅰ）证明：直线是曲线的一条切线的充要条件是直线是函数在上的“最佳下界线”； （ⅱ）若，直接写出集合中元素的个数（无需证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年福州市高三年级4月末质量检测 数学试题 （完卷时间120分钟；满分150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要