8.4.2 公式法(运用完全平方公式和平方差公式） 课件 2023-2024学年数学沪科版七年级下册

第八章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 8.4.2 公式法(运用完全平方公式和平方差公式) 学习目标 1.完全平方公式和平方差公式,理解其形式和特点. 2.掌握完全平方公式和平方差公式分解因式的方法,能正确运用其进行多项式的因式分解.(重点、难点) 知识回顾 1.什么叫多项式的因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解. 2.下列式子从左到右哪个是因式分解? 哪个整式乘法?它们有什么关系? (1) a(x+y)=ax+ay (2) ax+ay=a(x+y) 整式乘法 因式分解 它们是互为方向相反的变形. 知识回顾 3.已学过哪种因式分解的方法? 提公因式法 4.回忆完全平方公式和平方差公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)(a+b)=a2-b2 完全平方公式 平方差公式 a 米 b 米 b 米 a 米 (a-b) 米 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 新课导入 如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能得到什么公式? 想一想:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗? 是a,b两数的平方差的形式. ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式: 讲授新知 讲授新知 这样就可以把形如完全平方式的多项式因式分解. a2 2 a b b2 . + . = ( a b) 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. 类比平方差公式,把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置,就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2. 讲授新知 1.用平方差公式进行因式分解 a2-b2=(a+b)a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2 2.用完全平方公式进行因式分解 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法. 教材例题 例1 把下列各式分解因式: (1)x2+14x+49; (2)9a2-30ab+25b2; 解:x2+14x+49 =x2+2 x 7+72 =(x+7)2. 解:9a2-30ab+25b2 =(3a) -2 3a 5b+(5b)2 =(3a-5b)2. 完全平方式的特点: (1)必须是三项式(或可以看成三项的); (2)有两个同号的数或式的平方; (3)中间有两底数之积的 2倍. 简记口诀 首平方,尾平方,首尾两倍在中央. 教材例题 例1 把下列各式分解因式: (3)x2-81; (4)36a2-25b2. 解:x2-81 =x2-92 =(x+9)(x-9). 解:36a2-25b2 =(6a)2-(5b)2 =(6a+5b)(6a-5b). 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解,即能写成: ( )2-( )2的形式. 例2 把下列多项式分解因式: (1)ab2-ac2; (2)3ax2+24axy+48ay2. (1)解:ab2-ac2 =a(b2-c2) =a(b+c)(b-c). (2)解:3ax2+24axy+48ay2 =3a(x2+8xy+16y2) =3a[x2+2 x 4y+(4y)2] =3a(x+4y)2. 教材例题 24a=3a 8 48a=3a 16 (提取公因式) (用平方差公式) (提取公因式) (用完全平方公式) 教材例题 解:3ax2+24axy+48ay2 =3a(x2+8xy+16y2) =3a[x2+2 x 4y+(4y)2] =3a(x+4y)2. (提取公因式) (用完全平方公式) 在因式分解的过程中,有时提取公因式与利用公式两种方法要同时使用. 例题解读 例1 分解因式: (1)16x2+24x+9; (2)-x2+4xy-4y2. 分析:(1)16x2=(4x)2, 24x=2 4x 3, 9=3 , 所以16x2+24x+9是一个完全平方式; (2)首项有负号,先利用添括号法则,将其变形为-(x2-4xy+4y2), 再利用公式分解因式. 解: (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2 4x 3 + (3)2 = (4x + 3)2; (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)=- (x -2y)2. 例题解读 例2 分解因式: (a + b) (a - b) a2 - b2 = 解:(1)原式= (2)原式 整