第一章 专题1 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中物理选择性必修第二册同步课件（人教版2019）

物理 选择性必修 第二册 RJ 1 1 专题1 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 刷题型 2 1.[山西忻州一中2023高二上期末] （多选）边长为的等边三角形 区域内有 垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为.一束质量为、电荷量为 的带负 电粒子，从边的中点沿平行 边的方向以不同的速率射入磁场区域，不计粒 子重力及粒子间相互作用，则( ) AC A.能从边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 B.能从边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C.能从边射出的粒子的最大速率为 D.能从边射出的粒子的最大速率为 题型1 放缩圆模型的临界问题 3 解析 如图所示，当粒子的运动轨迹恰好与 边相切时，轨迹半径最小，轨 迹所对应的圆心角最大，为 ，此时粒子在磁场中运动时间最长，运动时间 ，A正确，B错误;当粒子恰好从C点射出时，轨迹半径最大，速率 最大，由几何关系知，,, ，则有 ,解得，由牛顿第二定律得 ，解 得 ，C正确，D错误. 题型1 放缩圆模型的临界问题 4 【关键点拨】解答本题的关键是确定粒子运动的临界状态：粒子运动时间最长时，其运动轨迹所 对应的圆心角最大；粒子速度最大时，其轨迹半径最大. 题型1 放缩圆模型的临界问题 5 2.[辽宁大连2023高二上期中] 如图所示， 点处有一粒子源，可以以不同 的速率发射某种质量为、电荷量为 的带正电的粒子，粒子沿纸面以与 成 角的方向射入正方形匀强磁场区域 内（边界无磁场），磁 场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里，正方形 的边长为 ，点是 边的中点.不计粒子的重力以及粒子间的相互作用，则下列说 法正确的是( ) C A.当粒子的速率大于时，粒子全部从 边离开磁场 B.当粒子的速率为时，粒子从 边离开磁场 C.当粒子的速率为时，粒子恰好从 边离开磁场 D.当粒子的速率由变为 时，粒子在磁场中运动的时间变长 题型1 放缩圆模型的临界问题 6 【思路导引】作出粒子从不同点离开磁场时的运动轨迹，根据几何关系求出粒子的运动半径，再 结合洛伦兹力提供向心力求出临界速度，逐个分析粒子的出射情况. 题型1 放缩圆模型的临界问题 7 解析 设粒子运动的轨迹半径为时，粒子的运动轨迹与 边相切，如图中曲线 ①所示，由几何关系得，解得 ，粒子在磁场中做匀速圆周 运动，由洛伦兹力提供向心力得，解得粒子的速率为 ；当粒 子的运动轨迹与边相切时，如图中曲线②所示，由几何关系可得 ，可得此时 粒子运动的轨迹半径为 ，粒子的速率为 ；当粒子的运动轨迹与 边相切时，如图中曲线③所示，由几何关 系可得，可得此时粒子运动的轨迹半径，粒子的速率为 .当粒子 的速率大于时，粒子全部从边离开磁场，故A错误.当粒子的速率为 时，由于 题型1 放缩圆模型的临界问题 8 ，所以粒子从边离开磁场，故B错误.当粒子的速率为时，粒子恰好从 边离 开磁场，故C正确.当粒子的速率由变为时，由于 ，可知两种速率时粒子均从 边离开磁场，从 边离开磁场的运动轨迹如图中曲线④所示，由几何关系可知粒子轨迹对应的 圆心角为 ，保持不变，粒子在磁场中运动的周期 ,则粒子在磁场中的运动时间 为，可知当粒子的速率由变为 时，粒子在磁场中运动的时间不变， 故D错误. 题型1 放缩圆模型的临界问题 3.如图所示，以为圆心，内、外半径分别为和 的扇形区域内存在垂直 纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，、 为扇形区域的两条边界 （边界上有磁场）.一束质量为、带电荷量为的粒子以不同的速率沿 方向射入磁场，与的夹角为 （不计粒子重力和粒子间的相互作用）. （1）某一粒子经过扇形区域后从磁场边界上点离开磁场，求该粒子的速率和粒子从 点运动 到点的总时间 ； [答案] ; 题型1 放缩圆模型的临界问题 10 图1 解析 当粒子经过扇形区域后从磁场边界上 点离开磁场时，运动轨迹如图1所示， 根据几何关系可知粒子做圆周运动的轨迹半径 ，根据牛顿第二 定律得，解得，粒子运动的周期 ，根据几何 知识可知粒子转过的圆心角 ，所以粒子从点运动到 点的总时间 . 题型1 放缩圆模型的临界问题 11 （2）求能从 边界射出的粒子的速率范围. [答案] 图2 解析 如图2所示，当粒子从 点离开磁场区域时，根据几何关系可知其轨迹半径 ，设此时粒子的速率为，有，解得 ，所 以能从边界射出的粒子的速率范围是 . 题型1 放缩圆模型的临界问题 12 【方法总结】对于初速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时， 我们常采用“放缩圆法”.如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速率 越大，运动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹 的圆心在垂直初速度方向的直线上.一般以入射点为定点，圆心位于 直线上，将半径放缩画轨迹，从而探索出临界条件. 题型1 放缩圆模型的临界问题 13 4.[湖南长沙长郡中学2024高二上期末] 如图所示，在荧光屏 上方分布着水平方向的匀强磁场， 方向垂直纸面向里.距离荧光屏处有一粒子源 ，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷 量为、质量为、速率为 的带正电粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，已知粒子做圆 周运动的半径为 ，则( ) D A.粒子能打到屏上的区域长度为 B.能打到屏上最左侧的粒子所用的时间为 C.粒子从发射到打到屏上的最长时间为 D.同一时刻发射的粒子打到屏上的最大时间差为 题型2 旋转圆模型的临界问题 14 解析 打在屏上区域两端的粒子运动轨迹如图甲所示，则粒子能打到屏上的区域长度为 ，A错误；打到屏上最左侧的粒子所用的时间为 ， ，解得 ，B错误；粒子在磁场中运动时间最长、最短时的轨迹如图乙中轨迹1、轨 迹2所示，根据几何关系可知，粒子从发射到打到屏上的最长时间为 ，粒子从发射到打 到屏上的最短时间为，，最大时间差为，解得 ， ，C错误，D正确. 甲 乙 题型2 旋转圆模型的临界问题 15 5.[河南南阳2024高二上期中] （多选）如图所示，在区域内存在与 平面垂直的匀 强磁场（未画出），磁感应强度大小为.在时刻，一位于坐标原点的粒子源向轴右侧 平面各方向均匀发射出大量相同的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同.已知沿 轴正方向发射 的粒子在时刻刚好从磁场边界上 点离开磁场，不计粒子重力，不考虑粒子间的 相互作用.则( ) ACD A.粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 B.粒子的比荷 C.从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为 D.时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为 题型2 旋转圆模型的临界问题 16 解析 沿轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示，设粒子运动的轨迹半径为 ，由 几何关系知，，所以 ，则粒子从到速度方向偏转了 ，可 得粒子运动的轨迹半径 ，A正确；粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向 心力，有,周期,联立解得,速度方向偏转了 ,即粒子运动轨迹所对应 的圆心角为 ,则有，解得,则 ，B错误；在磁场中运动时 间最长的粒子对应的轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图乙所示，由几何关系知，粒子运动轨 迹所对应的圆心角为 ，则从粒子发射到全部粒子离开磁场所用时间 ，C正 确；时刻，初速度方向在和之间的粒子还未出磁场，故 时刻仍然留在磁场中的 粒子的初速度方向与轴正方向的夹角范围为 ，所以 时刻还在磁场中的粒子和 总的发射的粒子数之比为 ，D正确. 题型2 旋转圆模型的临界问题 17 甲 乙 题型2 旋转圆模型的临界问题 18 【方法总结】对于初速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场 时，我们一般采用旋转圆法.粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同， 若入射初速度为，则轨迹半径为 ，如图所示，将一半径为 的圆以入射点为圆心进行旋转，可以看出轨迹圆的圆心共圆，即 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心、半径 的圆上，从而探索粒 子的临界条件. 题型2 旋转圆模型的临界问题 19 6.[辽宁协作校2023高二上期中] （多选）如图所示，等腰直角三角形 区 域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，直角边长度为 ，磁感应强度大小为 .在点有一粒子源，可沿纸面内各个方向射出速度大小相同、质量为 、 电荷量为的粒子，所有粒子不计重力及它们之间的相互作用.其中从 点 沿方向射入磁场的粒子，恰好垂直于边界 射出磁场.下列说法正确的是 ( ) BC A.粒子的速度大小 B.从点射出磁场的粒子在点的速度方向与的夹角为 C.与夹角为 入射的粒子在磁场中的运动时间为 D.所有从边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 题型2 旋转圆模型的临界问题 20 解析 根据题意，从点沿方向射入磁场的粒子，恰好垂直于边界 射出磁场，如图甲所示， 根据几何关系可知，点为圆心，则粒子做圆周运动的轨迹半径 ，由洛伦兹力提供向心力， 有，解得，故A错误.若粒子从 点射出磁场，粒子的运动轨迹如图乙所示， 由于粒子的轨迹半径，可知三角形为等边三角形，则有 ，则粒子在 点的速 度方向与的夹角为 ，故B正确.根据题意，与夹角为 入射的粒子在磁场中的运动轨迹 如图丙所示，根据几何关系可知，粒子运动轨迹所对应的圆心角为 ，则粒子在磁场中的运动 时间为，故C正确.根据题意可知，从 边界射出的粒子在磁场中运动，当弦 长最短，即弦与垂直时，运动的时间最短，对应的运动轨迹为弧线 ，如图丁所示，根据几何 关系可得，又，则 ，可得 ，故D错误. 题型2 旋转圆模型的临界问题 21 甲 乙 丙 丁 题型2 旋转圆模型的临界问题 22 【关键点拨】粒子在磁场中的运动时间最短时，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最小、弧长 最短、弦长最短. 题型2 旋转圆模型的临界问题 23 7.[重庆南开中学2023高二上期末] 如图所示，在直角三角形 内存在垂直纸 面向外的匀强磁场，边长度为，，现垂直 边以相同的速度射入一 群质量均为、电荷量均为 的带正电粒子（粒子不计重力、不考虑粒子间的相 D A.粒子在磁场中运动的最长时间为 B.该匀强磁场的磁感应强度大小是 C.如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直 边射出磁场 D.若有粒子能再次回到边，则该粒子在磁场中运动的速度最大为 互作用），已知垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间为 ，则下列判断中正确的是( ) 题型3 平移圆模型的临界问题 24 解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直 边射出的粒子在磁场中运动 的时间是，即，解得周期 ，粒子在磁场中运动轨迹所对应的 圆心角最大为 ，则粒子在磁场中运动的最长时间为 ，A错误；由洛伦兹力 提供向心力有,则,，解得 ，B错误；如果粒子带的 是负电，粒子向上偏转，以B点为圆心，运动轨迹对应的圆心角为的粒子垂直 边射出磁场，C 错误；若有粒子能再次回到边，运动轨迹对应的圆心角为 ，最大半径如图所示，由几何关 系可得最大半径为 满足,同时，解得 ，D正 确. 题型3 平移圆模型的临界问题 25 【方法总结】平移圆法 1.适用条件 （1）速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电 粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度 大小为，则它们做圆周运动的半径 ，如图所示（图中只画出 了粒子带负电的情况）. （2）轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行. 2.界定方法 将半径为 的圆进行平移，探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”. 题型3 平移圆模型的临界问题 26 $$