专题8.5 空间直线、平面的垂直（3知识点+10考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题8.5 空间直线、平面的垂直 知识点一 直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 3.特别提醒：如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交，就不能说明这条直线与此平面垂直. 知识点二 平面与平面垂直 1.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2. 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 知识点三 常用结论 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 考点01 线面垂直的判定与证明 【典例1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）正四面体中，分别是棱的中点，则不正确的选项为（    ） A．平面 B． C．平面 D．四点共面 【典例2】（23-24高二上·北京房山·阶段练习）阅读下面题目及其解答过程，将解答过程补充完整. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：． 解：（1）取的中点F，连接，如图所示． 在中，E，F分别为，的中点， 所以____①______，． 由题意知，四边形为 ② ．    因为D为BC的中点，所以，． 所以，． 所以四边形为平行四边形， 所以___③__________． 又 ④ ，平面， 所以，平面． （2）因为为直三棱柱，所以平面． 又平面，所以 ⑤ ． 因为，且， 所以 ⑥ ． 又平面，所以． 因为 ⑦ ，所以． 【总结提升】 　线面垂直的判定方法： (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面． (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： ①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结论． (3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧： 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法． 考点02 线线垂直的判定与证明 【典例3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 【典例4】【多选题】（2024高一下·全国·专题练习）（多选）如图，如果菱形所在的平面，那么下列结论正确的是（　　） A． B．与异面 C．与相交 D． 【规律方法】 证明线线垂直的基本方法： (1)证明一条直线垂直于经过另一直线的平面，称之为线面垂直法． (2)计算两条直线所成角等于90°，称之为计算角度法 考点03 补全线面垂直的条件 【典例5】（20-21高一下·全国·单元测试）已知平面，和直线，给出以下条件：①；②；③；④.要想得到，则所需要的条件是 ．（填序号） 【典例6】（20-21高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD． （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 考点04 线面垂直推证线线平行 【典例7】（2023高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，． 求证：； 【典例8】（2022高一·全国·专题练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE． 【总结提升】 当题中垂直条