精品解析：重庆市乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（一）数学试题

重庆市乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（一） 数学试题 （分数：150分，时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ） A. 245 B. 244 C. 242 D. 241 4. 如图1是一栋度假别墅，它屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角，，则该屋顶的侧面积为（ ） A. 80 B. C. 160 D. 5. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 定义，对于任意实数，则的值是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分. 9. 已知，，且，则（ ） A B. C. D. 10. 已知，，则（ ） A. 函数在上的最大值为3 B. ， C. 函数在上没有零点 D. 函数的极值点有2个 11. 已知双曲线左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则（ ） A. 为定值 B. C. 点到两条渐近线的距离之和的最小值为 D. 不存在直线使 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是______. 13. 从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是______． 14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形． （1）求证：平面平面； （2）若，，，求平面和平面夹角的余弦值. 16. 已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. （1）求函数的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 17. 某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24． （1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率． （2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p． （i）试用含m的代数式表示p； （ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线与椭圆交于另一点，且点到轴的距离为． （1）求椭圆的方程． （2）若点是上与点不重合的任意一点，直线与轴分别交于点． ①设直线的斜率分别为，求的取值范围． ②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 19. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因