1.3.1函数的单调性与导数(2)课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.3.1函数的单调性与导数(2) 知识点一　函数的变化快慢与导数的关系 思考 我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？ 如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a,0)内导数的绝对值较大，图象“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图象“平缓”. 知识点一　函数的变化快慢与导数的关系 梳理 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些. B 知识点一　函数的变化快慢与导数的关系 知识点一　函数的变化快慢与导数的关系 例2　如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是 √ 题型二　利用导数求函数的单调区间 例3　求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间. 解答 命题角度1　不含参数的函数求单调区间 f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞). 命题角度2　含参数的函数求单调区间 题型二　利用导数求函数的单调区间 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 问题1　对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？ 题型三　利用单调性求参数的取值范围 问题2　若某函数有无数个不连续的点使得f′(x)＝0，这会影响改函数的单调性吗？你能列出一个这样的函数吗？ 在x＝0的左右两侧，都有f′(x)>0，且该函数在x＝0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数.也就是说对于导函数有有限个等于0的点，不影响函数的单调性 例3　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是____________. [1，＋∞) 题型三　利用单调性求参数的取值范围 引申探究1 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递减，求k的取值范围. 答案：k的取值范围是(－∞，0]. 引申探究2 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上不单调，求k的取值范围. 答案：k的取值范围是(0，1). 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝ x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是 A.(－∞，1) B.(－∞，1] C.(1，＋∞) D.[1，＋∞) √ 题型三　利用单调性求参数的取值范围 (2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是 A.(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞) B.(－3，－1)∪(1,3) C.(－2,2) D.不存在这样的实数k √ (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意. ②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意. (2)恒成立问题的重要思路 ①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max； ②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. 课堂小结 1.知识清单： (1)求含参数的函数的单调区间. (2)由单调性求参数的取值范围. (3)函数图象增长快慢的比较. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论. 例1 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是(　　) 由x>0，解f′(x)>0，得x>，解f′(x)<0，得0<x<. 例4 讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性. $$