训练21 圆与圆的位置关系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练二十一圆与圆的位置关系 基础练 现固应周 (1)若圆O与圆M有公共点，求正实数r 的取值范围； 1.(福建宁德期中)圆(x-2)2+(y-2)2=1 与圆(x+1)2+(y+2)2=25的位置关系是 () (2)求过点 H(4,3)且与圆M相切的直线l 的方程. A.相切 B.相交 C.内含 D.外离 2.已知圆M:(x-a)2+y2=4(a>0)与圆N: x2+(y-1)2=1外切，则直线x-y-√2=0 被圆 M截得的线段的长度为 () A.1 B.√3 C.2 D.2√3 3.(四川南充阆中中学期中)已知点 M在圆 C?:(x+3)2+(y-1)2=4上，点N在圆 C?:(x-1)2+(y+2)2=4上，则|MN|的 最大值是 () A.5 B.7 C.9 D.11 4.(江苏常州二中期中)圆O?:x2+y2-4x+ 6y+2=0和圆O?:x2+y2-2x=0的公共 弦 AB的垂直平分线的方程为 () A.3x-y-3=0 B.x+3y-1=( C.x+3y+1=0 D.3x+y-3=0 5.若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2- 2by+b2=1外离，则a,b满足的条件是 6.(武汉二中期末)已知动圆C与圆C?:(x— 3)2+y2=4,圆C?:(x+3)2+y2=4中的一 个外切、一个内切，则动圆圆心C的轨迹方 程为 7.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+ 能力练 进移运用 8.设两圆C,C?都和两坐标轴相切，且都过 点(4,1),则两圆圆心的距离|C?C?|为 () A.4 B.4√2 C.8 D.8√2 9.(多选)圆x2+y2-2x+2y-2=0与圆x2 +y2-2ax-2ay+2a2-9=0的公共弦长 为27.则实数a的值可能为 () D.±4B.土晋A.±2 C.±1 10.(多选)(浙江湖州高二期中)已知两圆为 C:x2+y2=4与C?:(x-4)2+(y+3)2 =r2(r>0),则 ( A.若两圆外切，则 r=2 B.若两圆有3条公切线，则r=3 C.若两圆公共弦所在直线方程为8x—6y y2=r2(r>0)与圆M:(x-6)2+y2=4. -13=0,则 r=4 41 ?高中数学·选择性必修 第一册 D.P为圆C?上任意一点，Q为圆C?上任 意一点，若|PQ|的最大值为12,则r =5 11.过圆x2+y2-x-y-2=0与圆x2+y2+ 4x—4y-8=0的交点和点(3,1)的圆的 方程是 12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程 为x2+y2-8x+15=0.若直线 y=kx-2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大 值是_ 13.已知圆O:x2+y2-4ax+2ay+20(a- 1)=0. (1)求证：对任意实数a,该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆O?:x2+y2=4相切，求实 数a的值. 创新练 素能培优 14.(湖北黄冈期中)已知圆C过点M(1,4), N(3,2),且圆心在直线 4x-3y=0上. (1)求圆C的方程； (2)已知平面上有两点 A(-2,0),B(2,0), 点 P是圆C上的动点，求|APl2+|BP|2 的最小值； (3)若Q是x轴上的动点，QR,QS与圆C 相切，切点分别为R,S,试问直线 RS 是 否恒过定点?若是，求出定点坐标；若不 是，请说明理由. 42 12.解析 由题意，知直线4,的斜率k=一含，,则设直线 l 的方程为y-4=-2(x+2),即ax+3y+2a-12= 2a+3+2a-12\ 0.由Z与圆C相切，得上 √a2+9 —4,所以l的方程为4x-3y+20=0,l?的方程为4x- -￥3y+8=0,则两直线间的距离为- 答案 -4 ￥ 13.解 (1)证明 l的方程可化为(x+y-4)+m(2x+ (2+y-(-0 {=1:y-7)=0(m∈R),由 解得 即l恒过定点A(3,1). 因为圆心为C(1,2),|AC|=√5<5(半径), 所以点A在圆C内， 从而直线l与圆C恒交于两点. (2)由题意可知弦长最小时，l⊥AC. 因为kw=-,,所以l的斜率为 2. 又I过点A(3,1),所以l的方程为2x-y-5=0. 创新练素能培优 14.解 (1)以O为原点，直线l,m分别为x,y轴建立平 面直角坐标系. 设 PQ与圆A相切于点B,连接AB,以1千米为单位 长度，则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1, 4+#=1,由题意可设直线 PQ的方程为- 即bx+4y-4b=0(b>0), V0+=1,解得b=3,∵PQ与圆A相切.. 故当P距O处4千米时，OQ的长为3千米. (2)设 P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2), 则直线PQ方程为合+方=1,即bx+ay-ab=0. :PQ与图A相切=1, 化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2; ∵PQ=√a2+b2=√(a+b)2-2ab =√(a+b)2-4(a+b)+4=√(a+b-2), ∴a>2,b>2,∴a+b>4,于是 PQ=(a+b)-2. 又ab=2(a+b)-2<(“), 解得0<a+b≤4-2√2,或a+b≥4+2√2. ∵a+b>4,∴a+b≥4+2√2, PQ=(a+b)-2≥2+2√2, 当且仅当a=b=2+√2时取等号， ∴PQ最小值为2+2√2,此时a=b=2+√2. 故当 P,Q两点距离两公路的交点O都为2+√2(千米) 时，新建公路 PQ最短. 训练二十一圆与圆的位置关系 基础练巩固应用 1.B 圆(x-2)2+(y-2)2=1的圆心坐标为(2,2),半径 为1;圆(x+1)2+(y+2)2=25的圆心坐标为(-1, -2),半径为 5, 则两圆圆心距为√(2+1)2+(2+2)2=5. 又 5-1<5<5+1, 所以圆(x-2)2+(y-2)2=1与圆(x+1)2+(y+2)2= 25的位置关系是相交.故选 B. 2.D 由题意，知√a+1=2+1,a>0,所以a=2√2,圆心 M(2√2,0)到直线x-y-√Z=0的距离d=12N2 =1,所以直线x-y-√2=0被圆M截得的线段的长度 为2√4-1=2√3,故选 D. 3.C 由题意知圆C?的圆心为(-3,1),半径r?=2;圆C? 的圆心为(1,-2),半径r?=2,所以两圆的圆心距d= √[1-(-3)]+(-2-1)2=5>r+r?=4,所以两圆 外离，从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C. 4.D 圆O?:x2+y2-4x+6y+2=0可化为(x-2)2+(y +3)2=11,其圆心为O?(2,-3); 圆 O?:x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,其圆心 为O?(1,0). 由于O?O?垂直平分弦 AB,所以所求直线即为直线 0,0,因为koo=z3-?=-3, 所以两圆的公共弦AB的垂直平分线的方程为y-0= -3(x-1),即3x+y-3=0.故选 D. 5.解析 由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a, 0),√2和(0,b),1,因为两圆相离，所以√a2+b>√2+ 1,即a2+b2>3+2√2. 答案 a2+b2>3+2√2 6.解析 设动圆圆心C的坐标为(x,y),半径为r.由已 知，得圆C?的圆心C(3,0),半径r?=2,圆C?的圆心 C?(-3,0),半径r?=2.依题意，得 所以|CCI-|CC?|=4或|CC|-|CC?|=-4. 即√(x-3)2+(y-0)2-√(α+3)2+(y-0)2=±4, 整理得5x2-4y2-20=0,所以所求动圆圆心C的轨迹 方程为5x2-4y2-20=0. 答案 5x2-4y2-20=0 7.解 (1)∵圆 M与圆O有交点， ∴|r-2|≤6≤r+2,r>0, ∴4≤r≤8. (2)∵直线l过点H(4,3)且与圆M相切， ∴①当直线l垂直于x轴时， 直线l的方程为x=4,满足题意； ②当直线l不垂直于x轴时， 设直线l的方程为y-3=k(x-4), 84 即kx-y+3-4k=0. 又直线l与圆M相切， 二图心M6.0到直线(的距高4-签-2-. 解得k=一音， ∴直线l的方程为5x+12y-56=0. 综上所述，所求切线方程为x=4或5x+12y-56=0. 能力练迁移运用 8.C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1), ∴两圆圆心均在第一象限且横坐标、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b), 则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2, 即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根， 整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17. ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32, ∴|C?C?|=√(a-b)2+(a-b)2=√32×2=8. 9.CD 由两圆的方程作差，得两圆公共弦所在的直线方 程为(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0.因为两圆的公 3/7,而圆x2+y2-2x+2y-2=0的半径为共弦长为： 2,所以其圆心(1,—1)到直线(2a-2)x+(2a+2)y+7 u-L-2-#-1-2a2=0 的 距离 √2-(字)=÷.解得a=±1或土.故选 CD. 10.BCD 圆C?的圆心为(0,0),半径为2,圆C?的圆心为 (4,—3),半径为r. 对于A,若两圆外切，则圆心距√16+9=5=2+r,得r =3,故 A 错误； 对于 B,若两圆有3条公切线，则两圆外切，则 r=3,故 B正确； 对于C,两圆的方程相减得8x-6y+r2-29=0,若两 圆公共弦所在直线方程为8x-6y-13=0,则r2-29 =-13,解得 r=4,故 C正确； 对于D,圆C,C?的圆心距√16+9=5,则|PQ|的最 大值为5+2+r=12,解得r=5,故D正确. 故选 BCD. 11.解析 设所求圆方程为 x2+y2-x-y-2+λ(x2+ y2+4x-4y-8)=0,将(3,1)代入得a=-号.故所求 圆的方程为x2+y-x+y+2=0. 答案 x2+y2-3x+y+2=0 12.解析 圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4, 0),则题中条件可转化为圆C的圆心到直线y=kx-2 <2.楼理得3K-4≤0,的距离不大于 2,则- 解得O≤k<言， 号,故 k的最大值是- 41s答案 13.解(1)证明(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0, 此方程表示过圆x2+y2=20与直线-4x+2y+20=0 的交点的圆， -2-20-0.#{=2解方程组 所以该圆恒过定点(4,—2). (2)圆 O?的方程可化为 (x-2a)2+(y+a)2=5a2-20a+20=5(a-2)2, 则 O?(2a,-a),r?=√5(a-2)2. 由圆O?的方程，得O?(0,0),r?=2. 若两圆外切，则r?+r?=|O?O?|, 将圆 O?的方程整理， 得2+√5Ca-2T=√5,解得a=1+唇 若两圆内切，则Ir?-r?I=|O?O?|, 肿1√Sa-2T-21=√5,解得a=1-唇 综上所述a=1土誓 创新练素能培优 14.解(1)∵圆心C在直线 4x—3y=0 上，∴设 c(a,3a),,由圆C过点M,N,可得|CM|=|CN|,即 √(a-D2+(5-4)-√(a-3)2+(当-2) ,解得 a=3, ∴圆心为C(3,4),半径r=|CM|=2, ∴圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=4. (2)设 P(x,y), 则|APl2+|BP|2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y2= 2(x2+y2)+8=2|POl2+8. ∵|PO|=(|OC|-r)2=(5-2)2=9, ∴(|AP|2+|BP|2)mn=18+8=26. (去.2),(3)设Q(t,0),则以CQ为直径的圆的圆心为 记D(:2),半径为÷[cal= /u-g+16, ,则此 (x-3去+)+(y-2)=C-3+16,圆的方程为| 即 x2+y2-(3+t)x-4y+3t=0,记此圆为 D. 易知直线 RS为圆C与圆D的相交弦所在直线，两圆 方程作差可得直线 RS的方程，为(3-t)x+4y+3t- 21=0,即(3-x)t+3x+4y-21=0. 132+C-21=0. {;-3.由 解得 ∴直线 RS恒过定点，定点坐标为(3,3). 训练二十二椭圆及其标准方程 基础练巩固应用 1.C 由题意可得a2=9,b2=5,则c2=4,即a=3,c=2,所 以|PF|的最大值为a+c=5. 2.AB 由已知得2c=|FF?|=2√3,所以c=√3. 85