2.5.2 圆与圆的位置关系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 跟踪训练 3.(1)直线 y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2 =4 截得的弦长为2√3,则直线的斜率为 ( ) A.√3 B.±√3 c.3 D.±3 (2)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的 弦，其中最短弦的长为 探究四 直线与圆的方程的实际应用问题 [例4] 有一种大型商品，A,B两地均有出售 且价格相同，某地居民从两地之一购得商品 运回来，每千米的运费 A地是B地的两倍， 若 A,B两地相距10千米，顾客选择 A地或 B地购买这种商品的运费和价格的总费用 较低，那么不同地点的居民应如何选择购买 此商品的地点? 规律方法|Ⅱ ----------- 求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤 (1)认真审题，明确题意； (2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示 曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程； (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题； (4)把代数结果还原为实际问题的解. [提醒] 在实际问题中，有些量具有一定的条件， 转化成代数问题时要注意范围。 跟踪训练 4.某风暴中心位于某海礁 A处，距离风暴中心 A正西方向150 km的 B处有一艘轮船，正 以北偏东0(0为锐角)方向航行，速度为 30 km/h.已知距离风暴中心75√3 km 以内 的水域受其影响. (1)若轮船不被风暴影响，求角θ的正切值 的最大值； (2)若轮船航行方向为北偏东45°,求轮船被 风暴影响的持续时间. 提示 请完成《素能提升训练》训练二十 2.5.2 圆与圆的位置关系 [学习任务] 1.理解圆与圆的位置关系.(重点、易错点) 2.掌握判断圆与圆的位置关系的代数方法与几何方法，并能进行两圆位置关系的判断. (重点、难点) 62 第二章 直线和圆的方程 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 圆与圆位置关系的判定方法 1.几何法 若两圆的半径分别为r?,r?,圆心距为 d,则两圆有以下位置关系： 位置关系 公共点 个数 圆心距与 半径的关系 图示 两圆外离 两圆内含 0 d> d< 两圆相交 2 |r?-r?|<d <r?+? 续表 位置关系 公共点 个数 圆心距与 半径的关系 图示 两圆内切 两圆外切 1 d= d= 2.代数法 通过两圆方程组成的方程组的实数解 的个数进行判断. (△>0→ 圆C?方程 消元 元二次方程 △=0→ 圆C?方程 △<0→ 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 圆与圆位置关系的判断 [例1] 已知两圆C?:x2+y2+4x+4y-2= 0,C?:x2+y2-2x—8y-8=0,判断圆C?与 圆C?的位置关系. |规律方法Ⅱ 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差 的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置 关系，这是在解析几何中主要使用的方法； (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方 程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系. 跟踪训练 1.已知两圆C?:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0 和C?:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)当a为何值时，两圆外切? (2)当a=1时，试判断两圆的位置关系. 63 ?高中数学·选择性必修 第一册 探究二 两圆相切问题 [例2] 已知圆C与圆C?:x2+y2-2x=0相 外切，并且与直线x+√3 y=0相切于点 A(3,—√3),求圆C的方程. 探究三 两圆相交问题 [例3] 求圆C?:x2+y2=1与圆C?:x2+y2— 2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C?: (a-12+(y-1)2=25所截得的弦长. I规律方法ll 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只 是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情 况讨论； (2)转化思路，即将两圆相切的问题转化为两圆的 圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半 径之和(外切时). 跟踪训练 2.(1)(贵阳一中期末)圆C?:(x+2)2+(y— m)2=9与圆C?:(x—m)2+(y+1)2=4外 切，则m= ( ) A.2 B.—5 C.2 或一5 D.不确定 (2)(山东四市联考)我们 把圆心在一条直线上且相 邻圆彼此外切的一组圆叫 作“串圆”.在如图所示的 “串圆”中，圆 A的方程为 yt B A+ 0 x x2+(y-1)2=2,圆C的方程为(x—6)2+(y -7)2=2,则圆B的方程为 |规律方法|Ⅱ 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C:x2+y+D?x+Ey+F?=0与圆C:x十 y2+D?x+E?y+F?=0相交，则两圆公共弦所在直线 的方程为(D?-D?)x+(E?-E?)y+F?-F?=0. 2.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用 两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的 半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，根据勾股定 理求解。 □变式训练 1.(变结论)本例条件不变，如何求圆C?与圆 C2的公共弦长? 64 第二章 直线和圆的方程 2.(变条件)本例中若将圆C?的方程“(x—1)2+ (y-1)2=25”’改为“(x-1)2+(y-1)2=4”, 其他条件不变，又如何求解呢? □牛刀小试 1.请解答上述问题. 教材 与圆有关的探究性问题 拓展 (链接教科书第 99 页习题 y 14题)如图，圆x2+y2=8内有 0 一点P?(—1,2),AB为过点P? 且倾斜角为α的弦. 2.已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位 于x轴正半轴上，圆C与直线3x—4y+7=0 相切，且被y轴截得的弦长为 2√3,圆C的 面积小于13. (1)求圆C的标准方程； (2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不 同的两点A,B,以 OA,OB为邻边作平行四 边形 OADB.是否存在这样的直线，使得直 线OD与MC恰好平行?如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由. (1)当α=135°时，求 AB的长； (2)是否存在弦 AB被点P。平分?若存在， 写出直线 AB的方程；若不存在，请说明理由. □问题探究 此题目为探究性问题，属探究题存在类型 范畴，解决这类问题一般思路： 首先假设所探究的问题存在，在这个假设 条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合 理的推理结果，就肯定假设正确.如果得到一 个矛盾结论，就应否定假设，对问题做出反面 回答. 提示请完成《素能提升训练》训练二十一 65 面心C(3.0)到直线4的理离为d=4十号-1. 整理得4k2+3k=0,解得k=—二或k=0, 故直线l的方程为y=1或3y+4y-4=0. 答案(1)D(2)3 y=1或3x+4y-4=0 探究三 [例3][解]法一圆C:x2+y2-2y-4=0可化为 x2+(y-1)2=5, 其圆心坐标为(0,1),半径 r=√5. 点(0,1)到直线l的距离为d=3×CT=2 l=2√r2-d=√10,所以截得的弦长为√10. 法二 设直线l与圆C交于A,B两点. 由y-2--0得交点A(1,3),B(2,0), 所以弦AB的长为|AB|=√(2-1)2+(0-3)2=√10. [跟踪训练] 3.解析 (1)因为直线 y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2 =4截得的弦长为2√3,所以圆心C(2,3)到直线的距离 -1.d=√4-(√3)2=1,所以 得k=土得，,故选 D. (2)设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.当弦过 点A(3,1)且与 CA 垂直时为最短弦，|CA|= √(2-3)2+(2-1)2=√2.∴半弦长为√r2-|CA2= √4-2=√2.∴最短弦的长为2√2. 答案 (1)D(2)2√2 探究四 [例4] [解] 以 AB所在直线为 ty P x轴，线段 AB的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 如图所示，设A(-5,0), A 0 B x 则 B(5,0). 在坐标平面内任取一点 P(x,y), 设从 A运货到P地的运费为2a元/千米， 则从B运货到P地的运费为a元/千米. 若 P地居民选择在A地购买此商品， 则2a√(x+5)2+y2<a√(x-5)2+y2, (x+等)+y<(等)·整理得 即点P在圆C:(x+警)+y=(鲁)的内部. 也就是说，圆C内的居民应在A地购物. 同理可推得圆C外的居民应在B地购物. 圆 C上的居民可随意选择A,B两地之一购物. [跟踪训练] 4.解 (1)以A为原点，BA的方向为x轴正方向建立平面 直角坐标系. 设圆 A为以坐标原点为圆心，75√3为半径的圆，要使轮 船不被风暴影响，则当航行路线正好与圆A相切时，角 θ最大， 此时由|AB|=150,r=75√3,得否-0=零，则0=否， amo-哥，,即角θ的正切值的最大值为 (2)由题意知航行路线所在直线的方程为x-y+150 =0, 圆心 A到该直线的距离为d==75√2 所以该直线与圆A相交的弦长为2√F2-d2=150, 30-5(h).则轮船被风暴影响的持续时间为 2.5.2圆与圆的位置关系 【自主学习探新知】 知识点 1.r?+r?lr?-r?Ir?-r?lr?+r? 2.相交 内切或外切 内含或外离 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 法一 (几何法)把圆C?的方程化为标准 方程，得(x+2)2+(y+2)2=10.圆C,的圆心坐标为 (-2,-2),半径r?=√10. 把圆C?的方程化为标准方程，得 (x-1)2+(y-4)2=25. 圆C?的圆心坐标为(1,4),半径r?=5. 圆 C?和圆C?的圆心距 d=√(-2-1)2+(-2-4)2=3√5, 又圆 C?与圆C?的两半径长之和是r?+r?=5+√10, 两半径长之差是r?-r?=5-√10. 而 5-√10<3√5<5+√10, 即r?-r?<d<r?+r?, 所以两圆的位置关系是相交. 法二 (代数法)将两圆的方程联立得到方程组 C+y-4 ② 由①—②得x+2y+1=0, ③ 由③得x=-2y-1,把此式代入①, 并整理得y2-1=0, 所以y?=1,y?=-1,代入x+2y+1=0得x?=-3, x?=1. 所以圆 C?与圆 C?有两个不同的公共点(-3,1), (1,-1),即两圆的位置关系是相交. [跟踪训练] 1.解 将两圆的方程写成标准方程为 C:(x-a)2+(y+2)2=9,C?:(x+1)2+(y-a)2=4. 所以两圆的圆心和半径分别为 C?(a,-2),r?=3,C?(-1,a),r?=2. 设两圆的圆心距为d, 31 ① 则 d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当d=5,即2a2+6a+5=25时，两圆外切， 此时a=-5或a=2. (2)当a=1时，d=√2a2+6a+5=√13,r?=3,r?=2, 因为|r?-r?l<d<r?+r?, 所以两圆相交. 探究二 [例2][解] 设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0), 因为圆C与圆C:(x-1)2+y2=1相外切， 所以√b+(a-1)2=r+1. ① 又因为圆C与直线x+√3y=0相切于A(3,-√3), la+yān=r.所以- ② 中=F. ③ 由①②③解得 故圆 C的方程为 (x-4)2+y2=4或x2+(y+4√3)2=36. [跟踪训练] 2.解析 (1)圆C:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2, m),半径为3,圆C?:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为 (m,-1),半径为2.依题意有√(-2-m)2+(m+1)2= 3+2,即m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.故选C. (2)依题意可得A(0,1),C(6,7),且B为线段AC的中 点，所以 B(3,4).又|AC|=6√2,圆A,圆C的半径都是 √2,所以圆 B的半径r=2√2. 故圆 B的方程为(x-3)2+(y-4)2=8. 答案(1)C(2)(x-3)2+(y-4)2=8 探究三 [例3][解]设两圆的交点坐标分别为 A(x?,y?), B(x?,y?), +￥-2z-2y+1=(则 A,B的坐标是方程组 的解， 两式相减得x+y-1=0. 因为A,B两点的坐标满足x+y-1=0, 所以 AB所在直线方程为x+y-1=0, 即C,C?的公共弦所在直线方程为x+y-1=0, d-云，圆C的圆心为(1,1),其到直线 AB的距离 由条件知-d=2-2-, 2×2=√23.所以直线 AB被圆C;截得的弦长为 [变式训练] 1.解 由题意将圆C?与圆C?的方程相减，可得圆C,和 圆C?公共弦所在的直线l的方程为x+y-1=0, 对于圆C:x2+y2=1,该圆的圆心到直线x+y-1=0 的班离为习-1×共川一竖. 由条件知/-d2=1-(竖)=去， ,2×竖=√E.所以公共弦长为 2.解 由题意将圆C,与圆C?的方程相减， 可得圆C和圆C?公共弦所在的直线l为x+y-1=0. 圆 C。的圆心为(1,1), 其到直线1的距离d=D×1= 由条件知y2-d=4-号一号， 所以弦长为2×=√π. [牛刀小试] 1.解 (1)∵直线 AB的斜率为k=tan 135?=-1, ∴直线AB的方程为y-2=-(x+1), 即 x+y-1=0. ∵圆心 O(0,0)到直线 AB的距离 a-竖. ∴弦长|AB|=2√F-d=2√8-Z=√30. (2)假设存在弦AB被点P。平分， ∴P。为弦AB的中点，又|OA|=|OB|=r, ∴OP?⊥AB. 又km=21=6=-2,∴km=2 ∴直线AB的方程为y-2=号(x+1),即x-2y+5=0. 由以上求解可知，存在被 P。点平分的弦AB,此弦所在 直线方程为x-2y+5=0. 2.解(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a>0), SE-G-*,由题意知 解得 √a2+3=r, 又因为 S=πr2<13,所以a=1,r=2, 所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4. (2)不存在这样的直线l. 理由如下：当斜率不存在时，直线l为x=0,不满足 题意. 当斜率存在时，设直线l:y=kx+3,A(x?,y?),B(x?, -15+y=1.y?),由 消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0, 因为l与圆C相交于不同的两点， 所以△=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0, 解得k<1-2巨或k>1+?后. x+x?=-+F2-y+y?=k(x?+x)+6-24t. 32 ob=OA+OB=(x?+x?,y?+y?),MC=(1,-3). 假设O?//MC,则-3(x?+x?)=y?+y? 所以3×9422-24#, 解得A=六，÷4(-~,1-2{F)U(1+2√G.+), 所以假设不成立.不存在这样的直线l. 专题 3与圆有关的最值问题 题型一 1.D 将P(2,2)代入O:x2+(y-1)2=1,得22+(2-1)2 >1,所以点 P为圆外一点，易知圆心坐标 O(0,1),半径 r=1, 所以|PO|=√(2-0)2+(2-1)2=√5, 则|PM|的最大值=|PO|+r=√5+1. 2.B 由题意可知，圆C的圆心C(1,3),半径 r=√2. 则图心C到直线1的距离d-5-3. 故|AB|的最小值是d-r=3-√2. 3.解析 直线x+my-3m-4=0,即x-4+m(y-3)=0, 故直线过定点(4,3),该点到原点距离为5, 因为对任意实数m,直线x+my-3m-4=0被圆C截 得的线段长恒为4,所以直线过圆的圆心，即圆心为定 点(4,3),且圆的直径为4, 故圆上动点 P到原点距离的最小值为5-2=3. 答案 3 题型二 4.解析 由已知可得C(2,2),半径r=2√2, 所以|AC|=r=2√2. 又AC⊥AP,则在△PAC中有|PA|2+|AC|2=|PC|2, 即|PA|2=|PCl2-|ACl2=|PCl2-8, 所以当|PC|最小时，|PA|最小. Irel-12+2-因为当CP⊥l时，|PC|最小，此时| 4√2,此时|PA|2=24, 所以|PA|最小为 2√6. 答案 B 5.C 圆的标准方程为(x-2)2+y2=1, 则圆心坐标为C(2,0),半径r=1, 则△PAC的面积S=号1PA|·|ACI=号IPA|, ∴要使△PAC的面积最小，则|PA|最小，又|PA|= √TPCP-1ACF=√TPC2-1, 即|PC|最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离 a-12+g-. IPAI=√≥-1=, s=÷×T=即△PAC的面积的最小值为 6.解析 x2+y2-2x-2y+1=0,即(x-1)2+(y-1)2= 1,圆心为C(1,1),半径r=1, SPAg=2S△a=|PA|×|CA|=√1PC|2-1,即 |PC|最小时，面积最小. Ircl3.故四边形 PACB面积的最小 值为√9-I=2√2. 答案2√2 yt 2 C -3 P 1B 2 无0 -3 题型三 7.解析 圆的方程x2+y2-2x-6y y+ D =0化为标准方程为(x-1)2+(y -3)2=10, 则圆心为(1.3),半径x=,/10山A E 题意知最长弦为过E点的直径， 最短弦为过E点和这条直径垂直 B x 的弦，即AC⊥BD,且|AC|=2√10,圆心和E点之间 的距离为1,故|BD|=2√(√10)2-12=6, 所以四边形ABCD的面积为S=≥IACl·|BDI= ×2√10×6=6√10. 答案 6√10 8.解析 因为弦AB是过M(—1,1)的圆C的最长弦，则 直线l过圆心O(0,0), 所以直线l的方程为y=-x,即x+y=0. 答案 x+y=0 9.解 (1)证明 将直线l的方程变形为(2x+y-7)m+ {2+y=-7 (g-1(x+y-4)=0,令 解得( 即直线l过 定点(3,1).因为(3-1)2+(1-2)2=5<25,所以 点(3,1)在圆内部.所以不论m取何实数，直线l与圆C 恒相交. (2)由(1)的结论知直线l过定点M(3,1),且当直线l⊥ CM时，圆心到直线l的距离最大，进而l被圆C所截的 弦长|AB|最短，故|CM|=√(3-1)2+(1-2)2=√5, 此时|AB|=2√F-CM=2√52-(V5)2=4√5, kw=-=2,直线AB方程为y-1=2(x-3),此时/ 即 2x-y-5=0. 题型四 令学子一k,即y=kx+k+1(x≠-1),10.解析 33 C