2.3.3 点到直线的距离公式&2.3.4 两条平行直线间的距离-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

第二章 直线和圆的方程 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离 [学习任务] 1.了解点到直线的距离公式的推导方法.(重点) 2.会求点到直线的距离.(重点) 3.会解决两条平行线间的距离等问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 点到直线的距离与两条平行直线间 的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段 的长度 夹在两条平行直线间的公 垂线段的长度 续表 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 公式 点P?(x?,y?)到直线 l:Ax+By+C=0的 距离d= 两条平行直线 l?:Ax+By +C?=0与L?:Ax+By+C? =0(C?≠C?)之间的距离 d = 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 点到直线的距离公式及应用 [例1] 求点P(3,-2)到下列直线的距离： (1)y=4a+4; (2)y=6; (3)x=4. 跟踪训练 1.(1)若点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax十 y+1=0的距离相等，则实数a的值为( ) A. B.-g c.--或一3 D.g或3 (2)求垂直于直线x+3y-5=0,且与点 √10的直线1的方程.P(-1,0)的距离是 Ⅱ规律方法|Ⅱ- 应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为 一般式； (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0,公式 仍然适用； (3)直线方程 Ax+By+C=0中，A=0或 B=0 时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂 直),故也可用数形结合求解。 53 ?高中数学·选择性必修 第一册 探究二 两平行线间的距离公式及应用 探究三 距离公式的综合应用 -?=1与y=2x+1[例2] (1)直线 之间 的距离为 ( ) A.4133 B.14133 [例3] 已知正方形的中心为直线 2x—y+2 =0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在 的直线l的方程为x+3y-5=0,求正方形 另外三边所在直线的方程. c.23 D.24 (2)若两条平行直线3x—4y+1=0与ax— 8y+c=0的距离为3,则a= ,c= I规律方法|Ⅱ ---- 解决两条平行直线间的距离问题的方法 (1)转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的 数学思想； a=IG-J(2)直接使用公式 ,其中l?:Ax十 By+C?=0,l?:Ax+By+C?=0,需注意此时直线l? 与L?的方程为一般式且x,y的系数分别对应相同. ?跟踪训练 2.(1)(广东广州中学高二期中)两平行直线3x —2y-1=0和6x—4y+3=0间的距离是 ( ) A.5263 B.413 c.2133 D.3133 (2)(湖北孝感重点高中协作体高二期中联 考)已知 a<0,若直线l?:2x+ay-1=0与 直线l?:(a+1)x+y-4=0平行，则它们之 ()间的距离为 A.942 B.355 c.52 D.35或4 |规律方法|l 利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公 式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同 时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式 的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何 图形，借助几何图形的直观性去解决问题。 ?跟踪训练 3.(1)(赤壁一中月考)已知点M(a,b)在直线 4.x—3y+c=0上，若(a-1)2+(b—1)2的最 小值为4,则c= (2)(武汉二中月考)在△ABC中，A(m,2), B(-3,—1),C(5,1),若 BC的中点M到 AB的距离大于M到AC的距离，则 m的取 值范围为 . 54 第二章 直线和圆的方程 易错求直线方程时忽略斜率不存在 警示 的情况致错 [典例] 已知直线l过点A(1,2),且原点到直 线l的距离为1,求直线l的方程. [错解] 由题意设直线l的方程为y-2= k(x-1),即kx—y—k+2=0.因为原点到直 +21-1,解得a-线l的距离为1,所以- 314 y-2=:(a-1),所以所求直线l的方程为 即3x—4y+5=0. [错解分析] 符合题意的直线有两条，错解 中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了 一条直线. [正解] 当直线l过点A(1,2)且斜率不存 在时，直线l的方程为x=1,原点到直线l 的距离为1,满足题意. 当直线l过点A(1,2)且斜率存在时，由题意 设直线l的方程为y-2=k(x—1),即 kx— y—k+2=0. 因为原点到直线l的距离为1, R+2=1,解得a=4所以 所以所求直线l的方程为 y-2=2(a-1),即3x-4y+5=0. 综上所述，所求直线 l的方程为x=1 或 3x—4y+5=0. |误区警示|Ⅱ . 当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜 率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误. 提示、请完成《素能提升训练》训练十七 2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 [学习任务] 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特点.(重点) 2.会根据已知条件求圆的标准方程.(重点、难点) 3.能准确判断点与圆的位置关系.(易错点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 圆的标准方程 1.圆的定义：平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆 心，定长称为圆的半径. 2.圆的要素： 和 ,如图所示. fy 0 A M 3.圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径为r的 圆的标准方程是 当 a=b=0时，方程为x2+y2=r2,表示以 为圆心、半径为r的圆. 知识点二 点与圆的位置关系 点M(xo,y?)与圆C:(x—a)2+(y—b)2 =r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距 离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r (x?-a)2+(y?-b)2=r2 点M在圆外 |CM|>r (x?-a)2+(y?-b)2>r2 点M在圆内 CM|<r (x。-a)2+(y?-b)2<r2 55 (2)解方程组 (一喜，一号)·则点 在所求直线上. 在直线 y=x-2上取一点 M(2,0), 设点M关于直线l的对称点为M′(x?,y?), 解得则 ∴点M(一号，号)也在所求直线上. y+立x+喜 由两点式得直线方程为- 号+2~-号+号 化简得直线方程为7x+y+22=0. (3)在直线l上取两点E(0,3),F(-1,0), 则 E,F关于点A(3,2)的对称点为E'(6,1),F'(7,4). ∵点 E',F'在所求直线上， 号∴由两点式得直线方程为 即3x-y-17=0. 2.解 (1)如图，设点B关于l的对称点 ty yl P) B'的坐标为(a,b),kmgk=-1, B- B' 即3×=?=-1, A oL 主∴a+3b-12=0. ① 不 (2,”22),又 BB'的中点坐标为 ,且在直线l上， ∴3×号-0±-1=0,即3a-b-6=0. ② 由①②得a=3,b=3,∴B'(3,3). 于是直线 AB'的方程为 即2x+y-9=0. 解由l的直线方程与AB'的直线方程组成的方程组 12.--=0,#|- 即l与AB'的交点坐标为(2,5),∴P(2,5). (2)如图，设C关于l的对称点为C', ty C' 1l (号，学).可求出C'的坐标为 ∴AC'所在直线的方程为 19x+17y-93=0. C A 主o 4 (号，).AC'和l交点坐标为F (号，).故 P点坐标为 2.3.3点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 【自主学习探新知】 |Ax?+By?+Cl |C?-C?l 知识点 √A2+B2 √A2+B 【互动探究解疑难】 探究一 y=÷x+÷[例1] [解] (1)直线 化为一般式为 3x- 4y+1=0,由点到直线的距离公式可得 d= 13×3-4×(-2)+山=号 /32+(-4? (2)因为直线 y=6与y轴垂直， 所以点P到它的距离d=|-2-6|=8. (3)因为直线x=4与x轴垂直， 所以点 P到它的距离d=|3-4|=1. [跟踪训练] l-3a-4+1l 1.解(1)由点到直线的距离公式得 √a?+1 16a+3+11.解得a=-号或a=-子.√a2+1 答案 C (2)设与直线x+3y-5=0垂直的直线的方程为3x- y+m=0,则由点到直线的距离公式知 4-一号m 所以|m-3|=6,即m-3=±6,得m=9或m=-3, 故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0. 探究二 [例2] [解析] (1)两直线变形为3x-2y-12=0与 3x-20+2=0d-2-21--故 选 B. (2)由题意得3×(-8)-(-4)×a=0.所以a=6. 直线 3x-4y+1=0即为6x-8y+2=0. eFC-3.由平行线间的距离公式得- 所以|2-c|=30,即c=-28或 32. 故填：6,—28或 32. [答案](1)B(2)6 -28或32 [跟踪训练] 2.解析 (1)直线3x-2y-1=0即为6x-4y-2=0,所 以两平行直线6x-4y-2=0和6x-4y+3=0间的距 离d=+二共故选 A. (2)因为直线l:2x+ay-1=0与直线l?:(a+1)x+y-4 =0平行，所以2×1-a(a+1)=0.又a<0,所以a=-2. 此时直线l:2x-2y-1=0,l?:-x+y-4=0,即2x- 27 2y+8=0.由平行直线间的距离公式可知，l?与l?间的 距高4-故选 A. 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 法一(待定系数法)设圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2,答案 (1)A (2)A 探究三 -m#则有<[例3] [解] 设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在的 直线方程为l:x+3y+c=0(c≠-5). {2+2*1=由 得正方形的中心坐标为 P(-1,0), 由点 P到两直线l,l?的距离相等， 得」 ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 法二 (几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线 为x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心， .{∴由(解得c=7或 c=-5(舍去). ∴l?:x+3y+7=0. 即圆心坐标为(4,-3), 半径 r=√42+(-3)2=5. ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为 3x-y+a=0,3x-y+b=0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， :+- 解得a=9或a=-3, 同理得 b=9或 b=-3. [跟踪训练] 1.解析(1)已知圆C的一条直径的端点坐标分别是 (4,1),(—2,3),故利用中点坐标公式求得圆心为(1,2), 3×√(4+2)2+(1-3)利用两点间距离公式得半径为· =号√40=√10,故圆的标准方程为(a-1)°+(y-2)2 ∴另两条边所在的直线方程分别为 =10.故选 C.3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴另外三边所在的直线方程分别为 2-++=8-0, =(2)由 可得 即圆心为(2,4),因为 圆过原点，所以圆的半径r= √(2-0)2+(4-0)2= 3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0. [跟踪训练] 3.解析 (1)因为点M(a,b)在直线4x-3y+c=0上，那么 2√5,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20. (a-1)2+(b-1)2的最小值就是定点(1,1)到直线4x- y十c=0的距离d的平方，所以4—14×1-3×1+c 答案(1)C(2)(x-2)2+(y-4)2=20 探究二 [例2][解](1)设圆心C(a,b),半径长为r, =2,解得 c=-11或 9. 则由C为P?P?的中点， (2)易知BC中点为M(1,0),又km=23,所以AB的 方程为y+1=+3(x+3),即3x-(m+3)y-m+6= y-1=m-5(a-5),即 x-(m-5) 得a=4t?=5,b=?±3=6. 又由两点间的距离公式得 r=|CP?|=√(4-5)2+(9-6)2=√10, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 0.同理 AC的方程为 |3-m+6| y+m-10 = 0,依 题 意 有 (2)由(1)知，圆心C(5,6),则分别计算点到圆心的距离 |CM|=√(6-5)2+(9-6)2=√10, |CN|=√(3-5)2+(3-6)2=√13>√10, |CQl=√(5-5)2+(3-6)2=3<√10. 因此，点 M在圆上，点 N在圆外，点Q在圆内. √32+(m+3) |1+m-10l ,解得 m<去。√12+(m-5) (2)(-~·2)答案 (1)-11或9 [跟踪训练] 2.4圆的方程 2.解析(1)因为(5cos0)2+(4sin0)2=16+9cos2θ≤25, 所以点 P在圆C 内或圆C上. 2.4.1圆的标准方程 (2)由题意，得(a+1-a)2+(3-1)2<m,解得m>5. 【自主学习探新知】 答案 (1)C (2)A 探究三知识点一 1.定点 定长 2.圆心 半径 3.(x-a)2+ (y-b)2=r2原点 [例3][解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，√3为半径 28