(课时作业) 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[对应素能提升训练第13页] 1．已知两平行直线的方向向量分别为a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4，2－2m，2－2m)，则实数m的值为(　　) A．1 B．3 C．1或3 D．以上答案都不正确 解析　由题意知a∥b.因为b＝(4，2－2m，2－2m)≠0，所以“a∥b的充要条件是a＝λb”，即 显然m＝1符合题意，当m≠1时，由m－1＝λ(2－2m)，得λ＝－，代入4－2m＝4λ，得m＝3.综上，m的值为1或3. 答案　C 2．(海南海口高二期中)在空间直角坐标系中，a＝(1，2，1)为直线l的一个方向向量，n＝(2，t，4)为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 解析　因为l∥α，所以a·n＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3.故选B． 答案　B 3．(北京通州区高二期中)已知n1，n2分别是平面α，β的法向量，其中n1＝(1，y， －2)，n2＝(x，－2，1).若α∥β，则x＋y＝(　　) A．－ B．－ C．3 D． 解析　∵α∥β，且n1，n2分别是平面α，β的法向量，∴n1∥n2，则有＝＝，故x＝－，y＝4，则x＋y＝.故选D． 答案　D 4．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 解析　∵＝(0，1，－1)，＝(1，0，－1)，n·＝(－1)×0＋(－1)×1＋(－1)× (－1)＝0，n·＝(－1)×1＋(－1)×0＋(－1)×(－1)＝0，∴n⊥，n⊥.又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面α，∴n是平面α的一个法向量．又∵平面α与平面β不重合，∴α∥β. 答案　A 5．已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y＝________，z＝________． 解析　因为v∥，且＝(－1，2－y，z－3)， 所以＝＝，解得y＝，z＝. 答案　　 6．（襄阳五中期中）直线l的方向向量(2，m，1)，平面α的法向量为(1，，2)，且l∥α，则m=________． 解析　因为l∥α，所以l的方向向量与α的法向量垂直.所以(2，m，1)·(1，，2)＝2+m+2=0，解得m=－8. 答案　－8 7．(佛山一中月考)如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．求证：PQ∥平面BCD． 证明　如图，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OP所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0).设点C的坐标为(x0，y0，0)，则＝(x0，y0－，－2). 因为＝3， 所以＝＝(x0，y0－，－)， 所以Q. 因为M为AD的中点，所以M(0，，1). 又因为P为BM的中点，所以P， 所以＝. 又因为平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)， 所以·a＝0， 又因为PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD． 8．已知向量＝(1，5，－2)，＝(3，1，2)，＝(x，－3，6).若DE∥平面ABC，则x的值是(　　) A．5　　 B．3 C．2　　 D．－1 解析　设平面ABC的法向量为n＝(a，b，c)，则 即取n＝(6，－4，－7). 因为DE∥平面ABC，所以n·＝6x＋(－3)×(－4)＋6×(－7)＝0，解得x＝5. 答案　A 9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C1的位置关系是(　　) A．相交但不平行 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定 解析　∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝， ∴＝，＝， ∴＝＋＋＝＋＋ ＝＋＋ ＝ ＋． 又∵是平面B1BCC1的法向量， 且·＝·＝0， ∴⊥，∴MN∥平面BB1C1C.故选B． 答案　B 10．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　) A．(1，1，1) B． C． D． 解析　由已知得A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1).设M(x，x，1)，则＝(x－，x－，1)，＝(，－，0)，＝(0，－，1).设平面BDE的法向量为n＝(a，b，c)，则即 解得取b＝1，则n＝(1，1，). 又AM∥平面BDE，所以n·＝0， 即2(x－)＋＝0，得x＝， 所以M.故选C． 答案　C 11．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，则直线l与平面α的位置关系为________；若a＝(－1，－1，1)，则直线l与平面α的位置关系为________________． 解析　当a＝(1，1，2)时，a＝n，则l⊥α；当a＝(－1，－1，1)时，a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，则l∥α或l⊂α. 答案　l⊥α　l∥α或l⊂α 12．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1的位置关系是________． 解析　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 设正方体的棱长为1， 则O，C(0，1，0)， C1(0，1，1)，P， A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1). 则＝， BD1＝(－1，－1，1)， ∴＝BD1，∥，∴OP∥BD1. 答案　平行 13．如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证： (1)MN∥平面PAD； (2)平面QMN∥平面PAD. 证明　(1)如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设B(b，0，0)，D(0，d，0)， 则P(0，0，d)，C(b，d，0). 因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点， 所以M，N，Q， 所以＝. 因为平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0)， 且·m＝0，即⊥m. 又MN不在平面PAD内，故MN∥平面PAD. (2)＝(0，－d，0)，⊥m， 又QN不在平面PAD内，所以QN∥平面PAD. 又因为MN∩QN＝N， 所以平面MNQ∥平面PAD. 14．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，E为AD的中点．现将四边形EBCD沿BE折起至四边形EBHG的位置，且∠AEG＝90°.若点F满足＝λ，当EF∥平面AGH时，求实数λ的值． 解　令菱形ABCD的边长为2，由题意可知折起后AE⊥GE，AE⊥BE，GE⊥BE.以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，0)，G(0，0，1)，H(0，，2)，所以＝(－1，0，0)，＝(－1，，0)，＝(－1，0，1)，＝(－1，，2).设平面AGH的法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝1， 则y＝－，z＝1，所以n＝是平面AGH的一个法向量． 由题知＝λ＝(－λ，λ，0)，所以＝－＝(－λ，λ，0)－(－1，0，0)＝(1－λ，λ，0). 因为EF∥平面AGH，所以n·＝0， 所以1－λ－×λ＝0，所以λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$