串讲01 三角计算（14考点）-【中职专用】2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（高教版2021·拓展模块下 ）

串讲01 三角计算 一、知识网络 二、常考题型 三、知识梳理 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦及正切公式 (1)sin2α＝2sinαcosα(S2α)． (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)． (3)tan2α＝(T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. （2）．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 4．辅助角(“二合一”)公式： asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. 5.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin Asin Bsin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝　 cos B＝　 cos C＝　 解决解斜三角形的问题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 6.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 7.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 四、常考题型探究 考点一 公式的直接应用 1．(1)求值：cos15°＝　 　； (2)求值：sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝　 　； (3)求值：sin70°sin65°－sin20°sin25°＝　 　. (4)tan255°＝(　 　) A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ 【解析】　(1)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°＝×＋×＝. (2)原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝. （3）原式＝sin70°cos25°－cos70°sin25°＝sin(70°－25°)＝sin45°＝. (4)tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝2＋. 2．计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝　 　. 【解析】原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝. 3．求值：sin347°cos148°＋sin77°cos58°； 【解析】　(1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°) ＝sin13°cos32°＋cos13°sin32° ＝sin(13°＋32°)＝sin45°＝. 3. sin15°＋sin75°＝　 　； 【解析】sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°) ＝sin45°cos30°－cos45°·sin30°＋sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝2sin45°cos30°＝. 4．计算：＝ . 【解析】原式＝＝tan(45°＋15°) ＝tan60°＝×＝1. 考点二 给值求值 5．已知sinα＝－，sinβ＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，则cos(α－β)＝　 　； 【解析】　∵180°<α<270°，∴cosα＝－； 又∵90°<β<180°，∴cosβ＝－； cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝(－)×(－)＋(－)×＝. 6．求值：已知α，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则sin(α＋β)的值为　 　，sin(α－β)的值为　 　. 【解析】∵α，β都是锐角，且si