(素能提升训练) 5.2.1 基本初等函数的导数-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练十五　基本初等函数的导数 [对应素能提升训练第29页] 1．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则函数f(x)的解析式可以为(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2 C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1 解析　由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得f(x)＝x4－2.故选B. 答案　B 2.在曲线f（x）＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为 （　　） A.（1,1） B.（－1,－1） C.（－1,1） D.（1,1）或（－1,－1） 解析　切线的斜率k＝tan π＝－1,设切点为（x0,y0）,则f'（x0）＝－1,又f'（x）＝－,∴－＝－1,∴x0＝1或－1,∴切点坐标为（1,1）或（－1,－1）.故选D. 答案　D 3．(多选)已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝x2　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ln x D．f(x)＝e－x 解析　 A √ f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点” B √ f′(x)＝－，令＝－，得x＝－1，有“巧值点” C √ f′(x)＝，令ln x＝，结合y＝ln x，y＝的图象，知方程ln x＝有解，有“巧值点” D × f′(x)＝－e－x，令－e－x＝e－x，得e－x＝0，与e－x＞0矛盾，没有“巧值点” 答案　ABC 4.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝,则质点在t＝4时的速度为 （　　） A. B. C. D. 解析　∵s'＝.∴当t＝4时,s'＝×＝ . 答案　B 5．若直线y＝x＋b－1是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为________. 解析　由y＝ln x，可得y′＝，x＞0. 设切点为(x0，y0)，则＝＝，解得x0＝2， 故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线方程得ln 2＝×2＋b－1，解得b＝ln 2. 答案　ln 2 6.曲线y＝ex在点（2,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为　　　　.  解析　∵y'＝（ex）'＝ex,∴在点（2,e2）处的切线斜率为k＝e2,∴曲线在点（2,e2）处的切线方程为y－e2＝e2（x－2）,即y＝e2x－e2.当x＝0时,y＝－e2,当y＝0时,x＝1.∴S△＝×1×｜－e2｜＝e2. 答案　e2 7.已知点P（－1,1）,点Q（2,4）是曲线y＝x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程. 解　因为y'＝（x2）'＝2x,设切点为M（x0,y0）, 则y'＝2x0,又因为直线PQ的斜率为k＝＝1,而切线平行于直线PQ,所以k＝2x0＝1,即x0＝,所以切点为M.所以所求的切线方程为y－＝x－,即4x－4y－1＝0. 8.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直,则l的方程为 （　　） A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0 C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0 解析　由题意,知切线l的斜率k＝4.设切点坐标为（x0,y0）.∵y'＝4x3,∴k＝4＝4,解得x0＝1,∴切点为（1,1）,∴l的方程为y－1＝4（x－1）,即4x－y－3＝0. 答案　A 9.设f0（x）＝sin x,f1（x）＝f0'（x）,f2（x）＝f1'（x）,…,fn＋1（x）＝fn'（x）,n∈N,则f2 020（x）＝ （　　） A.sin x B.－ sin x C.cos x D.－cos x 解析　f0（x）＝sin x,f1（x）＝f0'（x）＝（sin x）'＝cos x,f2（x）＝f1'（x）＝（cos x）'＝ －sin x,f3（x）＝f2'（x）＝（－sin x）'＝－cos x,f4（x）＝f3'（x）＝（－cos x）'＝sin x,所以4为最小正周期,故f2 020（x）＝f0（x）＝sin x. 答案　A 10.设曲线y＝xn＋1（n∈N*）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn的值为 （　　） A. B. C. D.1 解析　对y＝xn＋1（n∈N*）求导得y'＝（n＋1）xn.令x＝1,得在点（1,1）处的切线的斜率k＝n＋1,∴在点（1,1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1）.令y＝0,得xn＝,∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝. 答案　B 11．(河南省TOP二十名校月考)已知曲线f(x)＝过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，且AP⊥BP.记A，B两点的横坐标分别为x1，x2，则x1x2＝________. 解析　当0＜x＜1时，f′(x)＝－＜0；当x＞1时，f′(x)＝＞0.由曲线f(x)在点A，B处的切线互相垂直，得x1，x2在1的两侧，不妨令0＜x1＜1＜x2，则－·＝－1，得x1x2＝1. 答案　1 12．(山西临汾期末)设A(t，0)，P是曲线y＝ex上的动点，且|PA|≥2，则t的取值范围是________. 解析　∵y＝ex，∴y′＝ex.设点P(m，em)，则曲线y＝ex在点P处的切线斜率为em. ∵|PA|≥2，∴当且仅当直线PA垂直于曲线y＝ex在点P处的切线时，|PA|取得最小值2. 又∵kPA＝，∴×em＝－1，即e2m＝t－m.① 易求得|PA|＝≥2，即(m－t)2＋e2m≥12.② 由①②得(m－t)2－(m－t)－12≥0，解得m－t≤－3或m－t≥4. 由①知m－t＝－e2m＜0，∴m－t≤－3，即e2m≥3，解得m≥，∴t≥m＋3≥＋3. 故t的取值范围为. 答案　 13．(云南昆明一中高二上期末)已知函数f(x)＝ln x＋a(a＞0)，函数g(x)＝ex. (1)若曲线f(x)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数a的值； (2)若直线y＝kx与曲线f(x)，g(x)都相切，求实数a的值． 解　(1)由已知得f′(x)＝，则f′(1)＝1. 又f(1)＝a，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋a－1. 当x＝0时，y＝a－1，当y＝0时，x＝1－a， 则××＝. 又a＞0，所以a＝2. (2)由已知得g′(x)＝ex. 因为直线y＝kx与曲线f(x)，g(x)均相切， 所以k＞0. 设直线y＝kx与曲线f(x)，g(x)相切的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 得直线y＝kx与曲线f(x)，g(x)相切的切点分别为，(ln k，kln k)， 所以解得 故实数a的值为2. 14.已知点A,B（2,1）,函数f（x）＝log2 x. （1）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线,求切线方程； （2）在曲线y＝f（x）上是否存在点P,使得过点P的切线与直线AB平行？若存在,求出点P的横坐标；若不存在,请说明理由. 解　（1）设切点为（m,log2 m）（m＞0）. 因为f（x）＝log2 x,所以f'（x）＝. 由题意可得＝,解得m＝e, 所以切线方程为y－log2 e＝（x－e）,即y＝x. （2）过点A,B（2,1）的直线的斜率为kAB＝. 假设存在点P,使得过点P的切线与直线AB平行,设P（n,log2 n）,≤n≤2, 则有＝,得n＝. 又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1,所以＜＜,所以在曲线y＝f（x）上存在点P,使得过点P的切线与直线AB平行,且点P的横坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$