(素能提升训练) 5.1.2 第1课时 导数的概念-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练十三　导数的概念 [对应素能提升训练第25页] 1.函数y＝x3在x＝1处的导数为 （　　） A.2 B.－2 C.3 D.－3 解析　＝＝＝3x2＋3Δx·x＋（Δx）2,所以＝3x2,y'｜x＝1＝3. 答案　C 2.已知函数y＝f（x）＝,且f'（m）＝－,则m的值为 （　　） A.－4 B.2 C.－2 D.±2 解析　∵＝＝＝,∴f'（m）＝＝－,∴－＝－,m2＝4,解得m＝±2. 答案　D 3.若可导函数f（x）的图象过原点,且满足＝－1,则f'（0）等于 （　　） A.－2 B.2 C.－1 D.1 解析　∵f（x）图象过原点,∴f（0）＝0,∴f'（0）＝＝＝－1,故选C. 答案　C 4.如果函数y＝f（x）在x＝1处的导数为1,那么＝ （　　） A. B.1 C.2 D. 解析　因为f'（1）＝1,所以＝1, 所以＝＝. 答案　A 5．已知球的体积V是关于半径r的函数，V(r)＝，则当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为________. 解析　∵ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝－＝，∴＝[12＋6Δr＋(Δr)2]，∴ ＝16π. 答案　16π 6．(江西南昌四校联考)设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________. 解析　f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－(－1)3a－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx， ∴＝a(Δx)2－3aΔx＋3a. 当Δx→0时，a(Δx)2－3aΔx＋3a→3a， ∴f′(－1)＝3a＝3，∴a＝1. 答案　1 7.如果一个质点从固定点A开始运动,时间t的位移（单位：m）函数为y＝f（t）＝t3＋3,求当t＝4 s时的瞬时速度. 解　因为质点在t＝4 s到（4＋Δt）s的位移改变量 Δy＝（Δt＋4）3＋3－（43＋3） ＝（Δt）3＋12（Δt）2＋48Δt, 所以该时间段内的平均速度＝ ＝＝（Δt）2＋12Δt＋48. v'（4）＝[（Δt）2＋12Δt＋48]＝48. 所以质点在t＝4 s时的瞬时速度为48 m/s. 8.设函数f（x）在点x0附近有定义,且有f（x0＋Δx）－f（x0）＝aΔx＋b（Δx）2（a,b为常数）,则 （　　） A.f'（x）＝a B.f'（x）＝b C.f'（x0）＝a D.f'（x0）＝b 解析　因为＝＝a＋bΔx,所以f'（x0）＝＝（a＋bΔx）＝a. 答案　C 9.（多选）若函数f（x）在x＝x0处存在导数,则的值 （　　） A.与x0有关 B.与h有关 C.与x0无关 D.与h无关 解析　由导数的定义可知,函数f（x）在x＝x0处的导数与x0有关,与h无关,故选AD. 答案　AD 10．(福建三明高二期末)如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设∠PAB＝θ(0＜θ＜π)，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是θ的函数．这个函数的图象可能是(　　) 　　　 解析　当0＜θ≤时，S的增长速度越来越快；当＜θ＜π时，S的增长速度越来越慢，所以B选项符合．故选B. 答案　B 11.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f'（x）,已知f'（0）＞0,且对于任意实数x,有 f（x）≥0,则的最小值为　　　　.  解析　由导数的定义,得f'（0）＝＝＝[a（Δx）＋b]＝b＞0.又Δ＝b2－4ac≤0,a＞0,∴ac≥,∴c＞0.∴＝≥≥＝2.当且仅当a＝c＝时等号成立. 答案　2 12.过曲线y＝x2＋1上两点P（1,2）和Q（1＋Δx,2＋Δy）作曲线的割线,当Δx＝0.1时,割线的斜率k＝　　　　,当Δx＝0.001时,割线的斜率k＝　　　　.  解析　∵Δy＝（1＋Δx）2＋1－（12＋1）＝2Δx＋（Δx）2,∴＝2＋Δx,∴割线斜率为2＋Δx.当Δx＝0.1时,割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.当Δx＝0.001时,割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001. 答案　2.1　2.001 13.求函数y＝x－在x＝1处的导线. 解　因为Δy＝（1＋Δx）－－＝Δx＋, 所以＝＝1＋. ＝＝2, 所以f'（1）＝2, 即函数y＝x－在x＝1处的导数为2. 14.巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处感觉比较吃力.想想看,为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 解　山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝＝＝, 山路从B到C高度的平均变化率为 hBC＝＝＝, ∵hBC＞hAB, ∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多. 学科网（北京）股份有限公司 $$