(素能提升训练) 5.1.1 变化率问题-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练十二　变化率问题 [对应素能提升训练第23页] 1.（多选）物体运动方程为s（t）＝3t2（位移单位：m,时间单位：s）,若v＝＝ 18 m/s,则下列说法中正确的是 （　　） A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B.18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的速度 C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D.18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的平均速度的极限值 答案　CD 2．函数f(x)＝从x＝到x＝3的平均变化率为(　　) A．2 B． C．3 D． 解析　函数f(x)从x＝到x＝3的平均变化率为＝. 答案　B 3．(陕西宝鸡高二下期末)一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝6t2＋mt，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析　Δs＝s(2)－s(1)＝6×22＋2m－(6×12＋m)＝18＋m，Δt＝2－1＝1.因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，所以＝18＋m＝20，解得m＝2. 答案　A 4.已知抛物线y＝x2－2上一点P,则在点P处的切线的倾斜角为（　　） A.30° B.45° C.135° D.165° 解析　k＝＝1,故切线的倾斜角为45°. 答案　B 5．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在上的平均变化率为________；函数f(x)在上的平均变化率为________. 解析　从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在上的平均变化率为＝＝，函数f(x)在上的平均变化率为＝＝. 答案　　 6.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是　　　　米/秒.  解析　∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－1＋3－32＝Δt2＋5Δt∴＝5＋Δt,∴当t＝3时,瞬时速度是（5＋Δt）＝5米/秒. 答案　5 7．枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，其路程(单位：m)与时间(单位：s)的关系为s(t)＝at2，如果枪弹的加速度a＝5×105 m/s2，且当t＝1.6×10－3 s时，枪弹从枪口射出，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 解　因为s(t)＝at2， 所以Δs＝a(t＋Δt)2－at2＝atΔt＋a(Δt)2， 所以＝at＋aΔt. 当Δt趋于0时，趋于at. 由题意知a＝5×105 m/s2，t＝1.6×10－3 s， 所以at＝8×102＝800(m/s)， 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 8.如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a的值为 （　　） A.－3 B.2 C.3 D.－2 解析　根据平均变化率的定义,可知＝＝a＝3. 答案　C 9．(河北保定二中月考)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1　　　　 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 解析　由题意可知曲线在点(0，b)处的切线的斜率k＝ ＝ (Δx＋a)＝a.又曲线在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，所以a＝1，由点(0，b)在切线上，可得0－b＋1＝0，即b＝1.故选A. 答案　A 10.（多选）已知某物体的运动方程为s（t）＝7t2＋8（0≤t≤5）,则 （　　） A.该物体当1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70 解析　该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28,A正确；物体在t＝4时的瞬时速度是＝（56＋7Δt）＝56,故B正确；物体的最大位移是7×52＋8＝183,C错误；物体在t＝5时的瞬时速度是＝（70＋7Δt）＝70,D正确.故选ABD. 答案　ABD 11.函数f（x）＝x2－x在区间[－2,t]上的平均变化率是2,则t＝　　　　.  解析　因为函数f（x）＝x2－x在区间[－2,t]上的平均变化率是2, 所以＝＝2,即t2－t－6＝2t＋4,从而t2－3t－10＝0,解得t＝5或t＝－2（舍去）. 答案　5 12．已知点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线f(x)在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，则点P的坐标为________. 解析　设P(x0，y0)，则y0＝x＋1， 易得曲线f(x)＝x2＋1在点P处的切线的斜率为 ＝2x0， 所以曲线f(x)在点P处的切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x＋1－x. 又因为该直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以该直线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点． 由得2x2＋2x0x＋2－x＝0， 则Δ＝4x－8(2－x)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为或. 答案　或 13．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))(Δx＞0). (1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的取值范围； (2)求曲线f(x)在点A(2，f(2))处的切线方程． 解　(1)由题意得，割线AB的斜率为 ＝＝＝－3－Δx. 由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞). (2)由(1)可得函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处的切线的斜率为 (－3－Δx)＝－3. 又f(2)＝－22＋2＝－2， 所以所求切线方程为y－(－2)＝－3(x－2)，即3x＋y－4＝0. 14．曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°. 解　设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为k＝ ＝2x0， (1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2， y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0×＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点． (3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点． 学科网（北京）股份有限公司 $$