(素能提升训练) 4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练十　等比数列前n项和的综合应用 [对应素能提升训练第19页] 1.某厂去年的总产值是a亿元,假设今后五年的年产值平均增长率是10%,则从今年起到第5年年末该厂的总产值是 （　　） A.11×（1.15－1）a亿元 B.10×（1.15－1）a亿元 C.11×（1.14－1）a亿元 D.10×（1.14－1）a亿元 解析　由题意可知,今年年末的总产值为1.1a,从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列,首项为1.1a,公比为1.1.所以其前5项和为S5＝＝11×（1.15－1）a亿元,故选A. 答案　A 2.（多选）已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则 （　　） A.a1d＞0 B.dS4＜0 C.a1d＜0 D.dS4＞0 解析　∵在等差数列{an}中,a3,a4,a8成等比数列,∴（a1＋3d）2＝（a1＋2d）（a1＋7d）⇒a1＝ －d,∴S4＝2（a1＋a4）＝2（a1＋a1＋3d）＝－d,∴a1d＝－d2＜0,dS4＝－d2＜0,故选BC. 答案　BC 3.已知数列{an}的首项为a1＝1,且满足an＋1＝an＋,则此数列的通项公式an等于 （　　） A.2n B.n（n＋1） C. D. 解析　∵an＋1＝an＋,∴2n＋1an＋1＝2nan＋2,即2n＋1an＋1－2nan＝2.又21a1＝2,∴数列{2nan}是以2为首项,2为公差的等差数列,∴2nan＝2＋（n－1）×2＝2n,∴an＝. 答案　C 4．(安徽合肥高二期中)某公司为庆祝公司成立九周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“九年耕耘，硕果累累”8个字．已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米高度至少要经过(　　) A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟 解析　设an表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意可得an＝an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝30，所以前n分钟热气球上升的总高度Sn＝＝90.因为Sn＋1－Sn＝90－90＝90＞0，所以数列{Sn}为单调递增数列．又S3＝90≈63.3＜70，S4＝90[1－]≈72.2＞70，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米高度．故选B. 答案　B 5．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________. 解析　设等比数列{an}的前2n项中奇数项的和、偶数项的和分别为S奇，S偶．由题意得∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝＝2. 答案　2 6.在等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 则数列{an}的通项公式为　　　　.  解析　当a1＝3时,不合题意；当a1＝2时,当且仅当a2＝6,a3＝18时,符合题意；当a1＝10时,不合题意.因此a1＝2,a2＝6,a3＝18,所以公比q＝3,故an＝2×3n－1. 答案　an＝2×3n－1 7.设{an}是等差数列,且a1＝ln 2,a2＋a3＝5ln 2. （1）求{an}的通项公式； （2）求＋＋…＋. 解　（1）设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln 2, 所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2,所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋（n－1）d＝nln 2. （2）因为＝eln 2＝2,＝＝eln 2＝2, 所以数列{ }是首项为2,公比为2的等比数列, 所以＋＋…＋＝ ＝2（2n－1）＝2n＋1－2. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1＝1,Sn＝2an＋1,则Sn＝ （　　） A.2n－1 B. C. D. 解析　因为an＋1＝Sn＋1－Sn,所以由Sn＝2an＋1,得Sn＝2（Sn＋1－Sn）,整理得3Sn＝2Sn＋1,所以＝,所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项,为公比的等比数列,故Sn＝. 答案　B 9．(重庆南开中学期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n＋1＋b－1，则4a＋2b的最小值为(　　) A．3 B．＋ C．2 D． 解析　根据题意得a1＝S1＝4a＋b－1，a2＝S2－S1＝4a，a3＝S3－S2＝8a， 则有(4a)2＝(4a＋b－1)×8a，变形可得2a＋b＝1， 则4a＋2b＝4a＋21－2a＝4a＋≥2＝2， 当且仅当2a＝b时等号成立， 即4a＋2b的最小值为2.故选C. 答案　C 10．(多选)(重庆主城区七校期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，则下列选项正确的是(　　) A．数列{an＋1}是等比数列 B．数列{an}的通项公式为an＝2n－1 C．Sn＝2n－n D．Tn＜1 解析　由Sn＋1＝Sn＋2an＋1可得an＋1＝2an＋1， 两边同时加1，得an＋1＋1＝2an＋1＋1＝2(an＋1). ∵a1＋1＝1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1，n∈N*，故A，B正确； Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2，故C错误； ∵＝＝－， ∴Tn＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝1－＜1，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 11.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n（n∈N*）等于　　　　.  解析　由题意知,第n天植树2n棵,则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝（2n＋1－2）棵,令2n＋1－2≥100,则2n＋1≥102,又26＝64,27＝128,且{2n＋1}单调递增,所以n≥6,即n的最小值为6. 答案　6 12.设数列{an}的前n项和为Sn,点（n∈N*）均在直线y＝x＋上.若bn＝,则数列{bn}的前n项和Tn＝　　　　.  解析　依题意得＝n＋,即Sn＝n2＋n.当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝－＝2n－；当n＝1时,a1＝S1＝,符合an＝2n－,所以an＝2n－（n∈N*）,则bn＝＝32n,由＝＝32＝9,可知{bn}为等比数列,b1＝32×1＝9,故Tn＝＝. 答案　 13.某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年淘汰x套旧设备. （1）如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套？ （2）依照（1）的更换速率,共需多少年能换完所有需要更换的旧设备？ 下列数据供计算时参考： 1.19≈2.36 1.004 99≈1.04 1.110≈2.60 1.004 910≈1.05 1.111≈2.85 1.004 911≈1.06 解　（1）设今年有学生b人, 则10年后学生人数为b（1＋4.9‰）10≈1.05b. 由题设可知,1年后的设备数量为a×（1＋10%）－x＝1.1a－x. 2年后的设备数量为（1.1a－x）×（1＋10%）－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x（1＋1.1）. …… 10年后的设备数量为a×1.110－x（1＋1.1＋1.12＋…＋1.19）＝a×1.110－x·≈2.6a－16x. 由题意得＝2·,解得x＝. （2）全部更换旧设备共需÷＝16（年）. 答：（1）每年应更换旧设备套. （2）按此速度全部更换旧设备共需16年. 14．(浙江三市五校联考)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，a2n＋1＝a2n－1＋2，a2n＋2＝3a2n，数列{an}的前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若amam＋1＝am＋2，求正整数m的值； (3)是否存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)由题意知数列{an}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列， 综上所述，m＝2. (3)由(1)可得S2m＝1＋2＋3＋2×3＋…＋2m－1＋2·3m－1 ＝(1＋3＋…＋2m－1)＋(2＋2×3＋…＋2·3m－1) ＝＋ ＝3m－1＋m2， S2m－1＝1＋2＋3＋2×3＋…＋2·3m－2＋2m－1 ＝(1＋3＋…＋2m－1)＋(2＋2×3＋…＋2·3m－2) ＝＋ ＝3m－1－1＋m2， 故＝＝1＋， 易知1＜≤3， 所以若为{an}中的某一项，则只能为a2或a3. 若＝a2，则1＋＝2，由m∈N*，得m＝2； 若＝a3，则1＋＝3，由m∈N*，得m＝1. 综上所述，存在满足条件的正整数m，且满足条件的m的值为1，2. 学科网（北京）股份有限公司 $$