(素能提升训练) 4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练九　等比数列的前n项和 [对应素能提升训练第17页] 1．(湖北武汉华师大一附中高二期末)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若3S3＝8a2＋5a1，则数列{an}的公比是(　　) A．2 B．－或2 C． D．或－2 解析　设等比数列{an}的公比为q.因为3S3＝8a2＋5a1，所以3(a1＋a2＋a3)＝8a2＋5a1，所以3a3＝5a2＋2a1，所以3a1q2＝5a1q＋2a1.又因为an＞0，所以3q2＝5q＋2，解得q＝2或q＝－(舍).故选A. 答案　A 2．(重庆巴蜀中学高二月考)已知{an}为递减等比数列，a1＞0，a1a3＝1，a2＋a4＝，则S6＝(　　) A． B． C． D．－ 解析　设递减等比数列{an}的公比为q，因为a1＞0，所以0＜q＜1.由a1＞0，a1a3＝1可得a＝1，结合a2＋a4＝，可得a2＝1，a4＝，则q2＝＝，所以q＝，故a1＝＝2，因此S6＝＝＝.故选A. 答案　A 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a4－a1＝78,S3＝39,设bn＝log3an,那么数列{bn}的前10项和为 （　　） A.log3 71 B. C.50 D.55 解析　由a4－a1＝78得a1（q3－1）＝78,又S3＝a1（1＋q＋q2）＝39,解得a1＝q＝3,故an＝3n,bn＝n,所以数列{bn}的前10项和为55. 答案　D 4.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是其前n项和,且9S3＝S6,则数列的前5项和等于 （　　） A.或5 B.或5 C. D. 解析　设数列{an}的公比为q,显然q≠1,由已知得＝,解得q＝2,∴数列是以1为首项,为公比的等比数列,前5项和为＝. 答案　C 5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4－a2＝12，a5－a3＝24，则＝________. 解析　由数列{an}为等比数列，设其公比为q，又a4－a2＝12，则a5－a3＝a4q－a2q＝(a4－a2)q＝12q＝24，解得q＝2，所以a4－a2＝a1q3－a1q＝6a1＝12，则a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2n，Sn＝＝＝2n＋1－2，所以a3＝8，S4＝25－2＝30，所以＝＝3. 答案　3 6.在正项等比数列{an}中,S30＝13S10,S30＋S10＝140,则S20＝　　　　.  解析　设等比数列的公比为q,由题意知q≠±1,由条件可得S10＝10,S30＝130,因为数列S10,S20－S10,S30－S20成等比数列,所以（S20－S10）2＝S10（S30－S20）,即（S20－10）2＝10（130－S20）,故S20＝－30或S20＝40.又S20＞0,所以S20＝40. 答案　40 7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn. 解　(1)设数列{an}的公比为q， 因为a1＝2，S3＝a3＋6，所以a1＋a2＝2＋a2＝6， 所以a2＝4，则q＝2，所以an＝2n. (2)由(1)可得bn＝log2an＝n，所以anbn＝n·2n， 则Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1， 所以－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1 ＝2n＋1－2－n·2n＋1， 所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2. 8．(湖北武汉5G联合体高二下联考)在数列{an}中，已知an＋1＋an＝3·2n，则{an}的前10项和为(　　) A．2 040 B．2 046 C．4 040 D．4 046 解析　因为an＋1＋an＝3·2n，所以a2＋a1＝3×2，a4＋a3＝3×23，a6＋a5＝3×25，a8＋a7＝3×27，a10＋a9＝3×29，则{an}的前10项和为3×(2＋23＋25＋27＋29)＝3×＝2 046. 答案　B 9.等比数列{an}的前n项和为Sn,S5＝2,S10＝6,则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于 （　　） A.8 B.12 C.16 D.24 解析　设等比数列{an}的公比为q,因为S2n－Sn＝qnSn,所以S10－S5＝q5S5,所以6－2＝2q5,所以q5＝2,所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＝q15S5＝23×2＝16. 答案　C 10．(广东佛山市荣山中学期中)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝3，数列{anan＋1}是公比为2的等比数列，则S10＝(　　) A．1 364 B．286 C．118 D．124 解析　因为数列{anan＋1}是公比为2的等比数列，所以对任意的n∈N*，an＋2an＋1＝2anan＋1，所以an＋2＝2an，所以数列{an}的奇数项和偶数项分别是以2为公比的等比数列．又a1＝1，a2＝3，所以S10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10)＝＋＝31＋3×31＝124. 答案　D 11.在公比为整数的等比数列{an}中,如果a1＋a4＝18,a2＋a3＝12,则这个数列的前8项之和S8＝　　　　.  解析　a1＋a4＝a1（1＋q3）＝18,a2＋a3＝a1（q＋q2）＝12,两式联立解得q＝2或,而q为整数,所以q＝2,a1＝2,代入公式求得S8＝＝510. 答案　510 12.已知{an}是递减的等比数列,且a2＝2,a1＋a3＝5,则{an}的通项公式为　　　　,a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N*）＝　　　　　　.  解析　由a2＝2,a1＋a3＝5,{an}是递减的等比数列,得a1＝4,a3＝1,an＝4×,则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为的等比数列的前n项和.故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×＝＝×. 答案　an＝4×　× 13．(甲卷)已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解　(1)因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0； 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2； 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1， 所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1＝2an， 化简得(n－2)an＝(n－1)an－1； 当n≥3时，＝＝…＝＝1，即an＝n－1， 当n＝1，2，3时都满足上式，所以an＝n－1(n∈N*). (2)因为＝， 所以Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×， Tn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×， 两式相减得 Tn＝＋＋＋…＋－n× ＝－n× ＝1－， 即Tn＝2－(2＋n)，n∈N*. 14.设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列. （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明：Tn＜. 解　（1）设等比数列{an}的公比为q（q≠0）, 则an＝qn－1.又因为a1,3a2,9a3成等差数列, 所以2×3a2＝a1＋9a3,即6q＝1＋9q2,解得q＝, 所以an＝,bn＝·＝. （2）证明：由（1）得Sn＝＝＝－, Tn＝＋＋…＋, ① Tn＝＋＋…＋＋, ② ①－②可得Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝－ ＝－－, 所以Tn＝－－＝－. 因为－＝＞0,所以＞, 所以－＜－,所以－＜－, 即Tn＜－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$