(素能提升训练) 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练六　等差数列前n项和的综合应用 [对应素能提升训练第11页] 1．(江西宜春三中高二期中)已知数列{an}的通项公式为an＝，则其前8项和为(　　) A． B． C． D． 解析　因为an＝＝＝＝，所以前8项和为×(1－＋－＋－＋…＋－)＝×＝.故选D. 答案　D 2.设数列{an}是等差数列,若a1＋a3＋a5＝105,a2＋a4＋a6＝99,以Sn表示{an}的前n项和,则使Sn达到最大值的n是 （　　） A.18 B.19 C.20 D.21 解析　∵a1＋a3＋a5＝105＝3a3,∴a3＝35,∵a2＋a4＋a6＝99＝3a4,∴a4＝33,∴d＝a4－a3＝ －2,∴an＝a3＋（n－3）d＝41－2n,令an＞0,∴41－2n＞0,∴n＜, ∴n≤20. 答案　C 3．已知数列{an}中，an＝，则S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝(　　) A．96 B．97 C．98 D．99 解析　S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝＋＋…＋＋①，S＝a98＋a97＋…＋a2＋a1＝＋＋…＋＋②，①＋②，得2S＝＋＝＋＋…＋＋＝2×98，所以S＝98. 答案　C 4.（多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S6＞S7＞S5,下列选项中正确的是 （　　） A.d＜0 B.S11＞0 C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 解析　∵S6＞S7,∴a7＜0,∵S7＞S5,∴a6＋a7＞0,∴a6＞0,∴d＜0,A正确.又S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0,B正确.S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0,C不正确.{Sn}中最大项为S6,D不正确.故正确的是AB. 答案　AB 5．设数列{an}的前n项和为Sn.如果a1＝－5，an＋1＝an＋2，n∈N*，那么S1，S2，S3，S4中最小的为________. 解析　∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－5，an＋1＝an＋2，n∈N*， ∴数列{an}是首项为－5，公差为2的等差数列， ∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1， ∴S1＝－5，S2＝－8，S3＝－9，S4＝－8， 故S1，S2，S3，S4中最小的为S3. 答案　S3 6.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为　　　　米.  解析　假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000（米）. 答案　2 000 7.已知等差数列{an}中,a3＋a4＝15,a2a5＝54,公差d＜0. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值. 解　（1）∵{an}为等差数列,∴a2＋a5＝a3＋a4, ∴ 解得（因d＜0,舍去）或⇒ ∴an＝11－n. （2）∵a1＝10,an＝11－n, ∴Sn＝＝－n2＋n. 又－＜0,对称轴为n＝,故当n＝10或11时,Sn取得最大值,其最大值为55. 8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn.若当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为(　　) A．(－1，＋∞)　　　 B． C． D． 解析　方法一：因为当且仅当n＝8时，Sn取得最大值， 所以数列{an}是递减数列，且 又a1＝7，所以即－1＜d＜－. 方法二：因为Sn＝7n＋d，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值， 所以即 解得－1＜d＜－. 答案　B 9．(山西运城高二期末)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 023＞S2 021＞S2 022，则(　　) A．d＜0 B．an＜0时，n的最大值为2 022 C．Sn有最大值 D．Sn＜0时，n的最大值为4 044 解析　由S2 023＞S2 021＞S2 022，得a2 022＝S2 022－S2 021＜0，a2 023＝S2 023－S2 022＞0，即d＝a2 023－a2 022＞0，故A错误；因为d＞0，且a2 022＜0，a2 023＞0，故an＜0时，n的最大值为2 022，所以Sn有最小值S2 022，没有最大值，故B正确，C错误；S4 043＝＝4 043a2 022＜0，S4 045＝4 045a2 023＞0，S4 044＝＝2 022(a2 022＋a2 023)，但a2 022＋a2 023无法确定正负，故Sn＜0时，n的最大值可能为4 043或4 044，故D错误． 答案　B 10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*).记数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A．<S100<3 B．3<S100<4 C．4<S100< D．<S100<5 解析　由题意知，0＜an＋1＝＜an≤1，且an＋1＋an＋1＝an，a2＝，则an＋1＝＜＝2(－)，则＝a1＋a2＜S100＝a1＋a2＋…＋a100＜a1＋2(－＋－＋…＋－)＝a1＋2(－)＜3，故选A. 答案　A 11．记Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足：①Sn＋1－an＞Sn＋2；②∀n∈N*，Sn＞S8.写出一个同时满足上述两个条件的数列{an}的通项公式an＝________. 解析　由Sn＋1－an＞Sn＋2，得an＋1－an＞2，即公差d＞2，所以数列{an}是递增数列．又∀n∈N*，Sn＞S8，即仅当n＝8时，Sn取得最小值，故只需数列{an}的前8项均为负数，第9项及之后均为正数即可，结合d＞2可知，满足条件的一个数列{an}的通项公式可以为an＝3n－25. 答案　3n－25(答案不唯一) 12.在等差数列{an}中,a1＞0,公差d＜0,a5＝3a7,前n项和为Sn,若Sn取得最大值,则n＝　　　　.  解析　在等差数列{an}中,a1＞0,公差d＜0.∵a5＝3a7,∴a1＋4d＝3（a1＋6d）,∴a1＝－7d,∴Sn＝ n（－7d）＋d＝（n2－15n）,∴n＝7或8时,Sn取得最大值. 答案　7或8 13.在零存整取模型下：（1）若每月存入的金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式；（2）若每月初存入500元,月利率为0.28%,到第36个月月末整取时的本利和是多少？ 解　（1）根据题意,每1个月存入金额为x元,到期利息为x·r·n元；第2个月存入金额为x元,到期利息为x·r·（n－1）元……第n个月存入金额为x元,到期利息为xr元.不难看出,这是一个等差数列求和的问题. 各月利息之和为xr（1＋2＋…＋n）＝x（元）,而本金为nx元,则本利和为y＝nx＋x＝x（元）.① （2）每月初存入500元,月利率为0.28%,根据①式,本利和y＝500×＝ 18 932.4（元）. 14.在数列{an}中,a1＝2,－－2＝0（n≥2,n∈N*）, （1）令bn＝,求证：{bn}是等差数列； （2）在（1）的条件下,设Tn＝＋＋…＋,求Tn. 解　（1）证明：由－－2＝0得 －＝2（n≥2）. 又bn＝,∴b1＝1, ∴数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列. （2）由（1）知bn＝2n－1, ∴＝＝, ∴Tn＝ ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$