(素能提升训练) 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练五　等差数列的前n项和 [对应素能提升训练第9页] 1．(江苏南京师范大学附属中学高二期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＝3，a6＝11，则S8＝(　　) A．72 B．64 C．56 D．48 解析　设等差数列{an}的公差为d，则a6＝a2＋4d＝3＋4d＝11，解得d＝2，所以a1＝1，所以S8＝＝4×(a1＋a1＋7d)＝4×(2＋14)＝64.故选B. 答案　B 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足－＝1,则数列{an}的公差是 （　　） A. B.1 C.2 D.3 解析　∵－＝1,∴2－3＝6,∴6a1＋6d－6a1－3d＝6,∴d＝2.故选C. 答案　C 3.等差数列{an}的前四项之和为124,后四项之和为156,各项和为210,则此数列的项数为 （　　） A.5 B.6 C.7 D.8 解析　由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124,an＋an－1＋an－2＋an－3＝156,∴4（a1＋an）＝280,∴a1＋an＝70.又Sn＝＝×70＝210,∴n＝6. 答案　B 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S18＝S20，则一定有(　　) A．a39＝0 B．a38＝0 C．S39＝0 D．S38＝0 解析　由S18＝S20得S20－S18＝a19＋a20＝0，故a19，a20异号或同时为0.若a19，a20异号，则A，B选项均错误；由等差数列的前n项和公式得S38＝＝＝0，S39＝＝＝39a20.由于a20不一定为0，所以S39不一定为0，故C选项错误，D选项正确．故选D. 答案　D 5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a9＞0，a2＋a9＜0，则S9________0，S10________0.(填“＜”或“＞”) 解析　因为a1＋a9＞0，所以S9＝＞0.因为a2＋a9＜0，所以S10＝＝＜0. 答案　＞　＜ 6.在等差数列{an}中,S10＝120,且在这10项中,＝,则公差d＝　　　　.  解析　由得所以S偶－S奇＝5d＝10,所以d＝2. 答案　2 7.在等差数列{an}中： （1）已知a1＝,d＝－,Sm＝－15,求m及am； （2）已知a1＝1,an＝－512,Sn＝－1 022,求d； （3）已知S5＝24,求a2＋a4. 解　（1）∵Sm＝m·＋·＝－15, 整理得m2－7m－60＝0,解得m＝12或m＝－5（舍去）, ∴am＝a12＝＋（12－1）×＝－4. （2）由Sn＝＝＝－1 022, 得n＝4,又由an＝a1＋（n－1）d, 即－512＝1＋（4－1）d,解得d＝－171. （3）方法一：设等差数列的首项为a1,公差为d,则S5＝5a1＋d＝24,得5a1＋10d＝24,a1＋2d＝. ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2（a1＋2d）＝2×＝. 方法二：由S5＝＝24,得a1＋a5＝. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝. 8．(浙江杭州高二期中)已知等差数列{an}的公差为正数，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，则S21＝(　　) A．－90 B．－180 C．210 D．180 解析　设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，所以等差数列{an}是递增数列．由a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，得解得或(舍)，则d＝＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝－6＋(n－3)×2＝2n－12，故S21＝＝＝21a11＝21×(2×11－12)＝210.故选C. 答案　C 9.已知命题：“在等差数列{an}中,若4a2＋a10＋a（　　）＝24,则S11为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为 （　　） A.15 B.24 C.18 D.28 解析　设括号内的数为n,则4a2＋a10＋a（n）＝24,即6a1＋（n＋12）d＝24.又因为S11＝11a1＋55d＝11（a1＋5d）为定值,所以a1＋5d为定值.所以＝5,解得n＝18. 答案　C 10.（多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和,下列选项中可能是Sn的图象的是 （　　） 解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以Sn＝an2＋bn（a,b为常数,n∈N*）,则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时,该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点,如选项C；当a≠0时,该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点,如选项A,B；选项D中的曲线不过原点,不符合题意. 答案　ABC 11．已知等差数列{an}的前m(m为奇数)项的和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100＝________. 解析　设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，由题意可知Sm＝135，前m项中偶数项之和S偶＝63，∴奇数项之和S奇＝135－63＝72，∴S奇－S偶＝a1＋＝＝＝72－63＝9.又∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.∵Sm＝＝135，∴m＝15，∴d＝＝＝1，∴a100＝a1＋99d＝101. 答案　101 12.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1＝－1,an＋1＝SnSn＋1,则Sn＝　　　　.  解析　当n＝1时,S1＝a1＝－1,所以＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1,所以－＝1,即－＝－1,所以是以＝＝－1为首项,－1为公差的等差数列,所以＝（－1）＋（n－1）（－1）＝－n,所以Sn＝－. 答案　－ 13．已知在数列{an}中，a1＝－6，a2＝－4，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，若对于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)构成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和． 解　(1)根据题意，A(n)，B(n)，C(n)构成等差数列， 所以A(n)＋C(n)＝2B(n)， 整理得an＋2－an＋1＝a2－a1＝－4＋6＝2， 所以数列{an}是首项为－6，公差为2的等差数列， 所以an＝－6＋2(n－1)＝2n－8. (2)|an|＝记数列{|an|}的前n项和为Sn. 当n≤4时，Sn＝＝－n2＋7n； 当n≥5时，Sn＝12＋＝n2－7n＋24. 综上所述，Sn＝ 14.已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3a4＝117,a2＋a5＝22. （1）求通项公式an； （2）若数列{bn}满足bn＝,是否存在非零实数c,使得{bn}为等差数列？若存在,求出c的值；若不存在,请说明理由. 解　（1）设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 由等差数列的性质,得a2＋a5＝a3＋a4＝22. 因为a3a4＝117,且公差大于0,所以a3＝9,a4＝13. 所以d＝4,a1＝1,则an＝1＋（n－1）×4＝4n－3. （2）存在非零实数c,使得{bn}为等差数列. 由（1）知Sn＝＝2n2－n, 所以bn＝＝. 方法一：b1＝,b2＝,b3＝（c≠0）. 令2b2＝b1＋b3,解得c＝－. 当c＝－时,bn＝＝2n.当n≥2时,bn－bn－1＝2. 故当c＝－时,数列{bn}为等差数列. 方法二：当n≥2时, bn－bn－1＝－ ＝. 欲使{bn}为等差数列, 只需4c－2＝2（2c－1）且－3c＝2c（c－1）（c≠0）, 解得c＝－. 故当c＝－时,数列{bn}为等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$