5.2.1 基本初等函数的导数(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第五章　一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 5.2.1　基本初等函数的导数 [学习任务] 1.能根据定义求函数y＝c,y＝x,y＝x2,y＝,y＝的导数.（难点） 2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.（重点） 5.2.1　基本初等函数的导数 [对应学生用书第52页] 知识点　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝0 f（x）＝xα（α∈R且α≠0） f'（x）＝ 　α　⁠ f（x）＝sin x f'（x）＝cos x f（x）＝cos x f'（x）＝－sin x 0 α cos x －sin x 5.2.1　基本初等函数的导数 原函数 导函数 f（x）＝ax（a＞0,且a≠1） f'（x）＝axln a f（x）＝ex f'（x）＝ex f（x）＝logax（a＞0,且a≠1） f'（x）＝_______ f（x）＝ln x f'（x）＝______ axln a ex 5.2.1　基本初等函数的导数 [对应学生用书第52页] 探究一　利用导数公式求函数的导数 [例1]　（1）y＝x12； [解]　（1）y'＝（x12）'＝12x11. （2）y＝； [解]　（2）y'＝'＝（x－4）'＝－4x－5＝－. 5.2.1　基本初等函数的导数 （3）y＝； [解]　（3）y'＝（）'＝'＝. （4）y＝3x； [解]　（4）y'＝（3x）'＝3xln 3. （5）y＝log5x. [解]　（5）y'＝（log5x）'＝. 5.2.1　基本初等函数的导数 　　（1）若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解. （2）对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误. （3）要特别注意“与ln x”,“ax与logax”,“sin x与cos x”的导数区别. 5.2.1　基本初等函数的导数 1.求下列函数的导数： （1）y＝sin ； 解　（1）∵y＝sin＝,∴y'＝0. （2）y＝； 解　（2）y'＝ln＝－ln2. 5.2.1　基本初等函数的导数 （3）y＝； 解　（3）y'＝（）'＝－＝－. （4）y＝； 解　（4）y'＝（）'＝（）'＝＝. （5）y＝log3 x. 解　（5）y'＝（log3x）'＝. 5.2.1　基本初等函数的导数 探究二　利用导数公式解决切线问题 1.求切线的方程 [例2]　函数y＝在点处的切线方程是（　　） A.y＝4x B.y＝－4x＋4 C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4 5.2.1　基本初等函数的导数 [解析]　∵y'＝'＝－x－2,∴k＝y'＝－＝－4,∴切线方程为y－2＝ －4,即y＝－4x＋4. [答案]　B 5.2.1　基本初等函数的导数 [例3]　已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线,则k＝ 　　　　⁠.  [解析]　设切点坐标为（x0,y0）,由题意得y'＝＝k,又y0＝kx0,而且y0＝lnx0,从而可得x0＝e,y0＝1,则k＝. [答案]　 ⁠ 2.求参数值 5.2.1　基本初等函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. （2）如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. 5.2.1　基本初等函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 探究三　导数的简单综合应用 [例5]　（1）质点的运动方程是s（t）＝sin t,则质点在t＝时的速度为 　　　　⁠；质点运动的加速度为 　　　　⁠；  ⁠ ⁠ 5.2.1　基本初等函数的导数 [解析]　（1）v（t）＝s'（t）＝cost, ∴v＝cos＝. 即质点在t＝时的速度为. ∵v（t）＝cost, ∴加速度a（t）＝v'（t）＝（cost）'＝－sint.∴a＝－. 5.2.1　基本初等函数的导数 （2）已知两条曲线y＝sin x,y＝cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. [解析]　（2）由于y＝sinx,y＝cosx,设这两条曲线的一个公共点为P（x0,y0）.∴两条曲线在P（x0,y0）处的斜率分别为k1＝cosx0,k2＝－sinx0. 若使两条切线互相垂直,必须cosx0（－sinx0）＝－1, 即sinx0cosx0＝1,也就是sin2x0＝2,这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直. [答案]　（1）　－　（2）见解析 5.2.1　基本初等函数的导数 导数的综合应用的解题技巧 （1）导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁,很多综合问题我们可以数形结合,巧妙利用导数的几何意义,即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决,往往这是解决问题的关键所在； （2）导数作为重要的解题工具,常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题,可以结合导数的几何意义分析. 5.2.1　基本初等函数的导数 3.曲线y＝在点（1,1）处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 解析　可求得y'＝,即y'｜x＝1＝,切线方程为2x－3y＋1＝0,与x轴的交点坐标为,与x＝2的交点坐标为,围成三角形面积为××＝. 答案　C 5.2.1　基本初等函数的导数 记错基本初等函数的导数公式 致错 [例] 求函数f（x）＝log3 x在（3,1）处的导数. [错解]∵f'（x）＝,∴f'（3）＝. [错解分析] 本题因对导数公式记忆错误而导致求解错误. [正解]∵f'（x）＝,∴f'（3）＝. 5.2.1　基本初等函数的导数 　　准确记忆基本初等函数的导数公式,对于易混易错的公式应重点防范,本题中（log3x）'＝. 5.2.1　基本初等函数的导数 [对应学生用书第54页] 5.2.1　基本初等函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 2.已知f（x）＝ln x,则f'的值为（　　） A.1 B.－1 C.e D. 解析　由f（x）＝lnx,得f'（x）＝,则f'＝＝e.故选C. 答案　C 5.2.1　基本初等函数的导数 3.若f（x）＝x3,g（x）＝log3x, 则f'（x）－g'（x）＝ 　　　　⁠.  解析　∵f'（x）＝3x2,g'（x）＝, ∴f'（x）－g'（x）＝3x2－. 答案　3x2－ ⁠ 5.2.1　基本初等函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 3．曲线上的点到直线的最小距离问题 [例4]　(贵州凯里一中高二月考)已知点P(x，y)是曲线y＝x2上的一动点，则点P(x，y)到直线2x－y－4＝0的距离的最小值为(　　) A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(2\r(5),5) C． eq \f(3\r(5),5) D． eq \f(3,5) [解析]　联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,2x－y－4＝0，)) 得x2－2x＋4＝0，则Δ＝4－4×1×4＝－12＜0，所以直线2x－y－4＝0与曲线y＝x2不相交，因此当曲线在点P处的切线与直线2x－y－4＝0平行时，点P到该直线的距离最小．因为y′＝2x，直线2x－y－4＝0的斜率k＝2，所以2x＝2，解得x＝1，则P(1，1)，所以P(1，1)到直线2x－y－4＝0的距离最小，最小值为d＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－1－4)),\r(22＋（－1）2)) ＝ eq \f(3\r(5),5) .故选C. [答案]　C 2．(1)曲线y＝f(x)＝ex的倾斜角为 eq \f(π,6) 的切线的切点坐标为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)ln 3，\f(\r(3),3))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ln 3，\r(3))) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ln 3，\f(\r(3),3))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)ln 3，\r(3))) (2)(多选)(江苏连云港高二上期末)设b为实数，则直线y＝2x＋b能作为下列曲线的切线的是(　　) A．f(x)＝ eq \f(1,x) 　　　　 B．f(x)＝x4 C．f(x)＝ex D．f(x)＝sin x 解析　(1)由已知得f′(x)＝ex，切线的斜率k＝tan eq \f(π,6) ＝ eq \f(\r(3),3) .设切点为(x0，y0)，则 ＝ eq \f(\r(3),3) ，所以x0＝－ eq \f(1,2) ln 3.又y0＝f(x0)＝ ＝ eq \f(\r(3),3) ，所以切点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)ln 3，\f(\r(3),3))) .故选A. (2) A × f′(x)＝－ eq \f(1,x2) ＜0，故无论x取何值，f′(x)都不可能等于2 B √ f′(x)＝4x3，令4x3＝2，解得x＝ eq \r(3,\f(1,2)) ，所以直线y＝2x＋b能作为该曲线的切线 C √ f′(x)＝ex，令ex＝2，解得x＝ln 2，所以直线y＝2x＋b能作为该曲线的切线 D × f′(x)＝cos x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1)) ，故无论x取何值，f′(x)都不可能等于2 答案　(1)A　(2)BC 1．(四川广安二中高二期中)下列各式正确的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,12))) ′＝cos eq \f(π,12) D．(x－5)′＝－ eq \f(1,5) x－6 解析　(cos x)′＝－sin x，(ax)′＝ax ln a， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,12))) ′＝0，(x－5)′＝－5x－6，只有B正确．故选B. 答案　B 4．(广东佛山高二段考)已知函数f(x)＝ eq \f(1,x) . (1)曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直，求点P的坐标； (2)过点Q(－1，3)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程． 解　(1)∵f(x)＝ eq \f(1,x) ，∴f′(x)＝－ eq \f(1,x2) . 设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0))) ， ∵曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直， ∴f′(x0)＝－eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \f(1,x) ＝－ eq \f(1,4) ， 解得x0＝±2， ∴P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2))) 或P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))) . (2)过点Q(－1，3)作曲线y＝f(x)的切线， 设切点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,x1))) ， 则f′(x1)＝－eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(1,x) ， 切线方程为y＝－eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(1,x) (x－x1)＋ eq \f(1,x1) ＝－eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(1,x) x＋ eq \f(2,x1) ， 代入点Q(－1，3)的坐标，得3＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(1,x) ＋ eq \f(2,x1) ， 解得x1＝－ eq \f(1,3) 或x1＝1， 即切线方程为y＝－9x－6或y＝－x＋2. $$