5.1.2 第1课时 导数的概念(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第五章　一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 [学习任务] 1.了解导数概念的实际背景. 2.掌握导数的概念,会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.（重点） 第1课时　导数的概念 [对应学生用书第46页] 知识点　导数的概念 　　如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个 　确定的值　⁠,即有 　极限　⁠,则称y＝f（x）在x＝x0处可导,并把这个 　确定的值　⁠叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称 为瞬时变化率）,记作f'（x0）或y',即f'（x0）＝___________ ＝___________________________. 确定的值 极限 确定的值 第1课时　导数的概念 [对应学生用书第46页] 探究一　求函数在某点处的导数 [例1]　（1）求函数f（x）＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数； [解]　（1）∵Δy＝f（－1＋Δx）－f（－1）＝－（－1＋Δx）2＋（－1＋Δx）＋2＝3Δx－（Δx）2, ∴＝＝3－Δx, ∴f'（－1）＝＝（3－Δx）＝3. 第1课时　导数的概念 （2）求函数y＝3x2在x＝1处的导数. [解]　（2）∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝3（1＋Δx）2－3＝6Δx＋3（Δx）2, ∴＝6＋3Δx,∴f'（1）＝＝（6＋3Δx）＝6. 第1课时　导数的概念 求函数y＝f（x）在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限. 第1课时　导数的概念 1.利用导数的定义,求f（x）＝在x＝1处的导数. 解　Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝－ ＝－, ∴＝, 第1课时　导数的概念 ∴f'（1）＝ ＝ ＝＝. 第1课时　导数的概念 探究二　导数概念的应用 [例2]　已知f（x）在x0处的导数f'（x0）＝k,求下列各式的值： （1）； [解]　（1）∵＝f'（x0）, 即＝f'（x0）＝k. ∴＝. 第1课时　导数的概念 （2）. [解]　（2）∵, 即为函数f（x）在区间[x0－Δx,x0＋Δx]上平均变化率. ∴当Δx→0时,必趋于f'（x0）＝k, ∴＝k, ∴＝2k. 第1课时　导数的概念 　　由导数的定义可知,若函数y＝f（x）在x＝x0处可导,则f'（x0）＝,它仅与x0有关,与Δx无关,因此使用导数的定义时要明确公式的形式,当分子为f（1－Δx）－f（1）时,分母也应该是（1－Δx）－1,要注意公式的变形. 第1课时　导数的概念 2.（1）若函数f（x）可导,则等于（　　） A.－2f'（1） B.f'（1） C.－f'（1） D.f' 第1课时　导数的概念 （2）已知函数f（x）可导,且满足＝2,则函数y＝f（x）在x＝3处的导数为（　　） A.－1 B.－2 C.1 D.2 第1课时　导数的概念 解析　（1） ＝－ ＝－f'（1）. （2）由题意,知f'（3）＝＝－2,故选B. 答案　（1）C　（2）B 第1课时　导数的概念 探究三　导数的实际意义 [例3]　航天飞机发射后的一段时间内,第t s时的高度h（t）＝5t3＋30t2＋45t＋4,其中h的单位为m,t的单位为s. （1）h（0）,h（1）分别表示什么？ [解]　（1）h（0）表示航天飞机未发射时的高度,h（1）表示航天飞机发射1 s后的高度. 第1课时　导数的概念 （2）求第1 s内高度的平均变化率； [解]　（2）＝＝80（m/s）, 即第1s内高度的平均变化率为80m/s. （3）求第1 s末高度的瞬时变化率,并说明它的意义. [解]　（3）h'（1）＝＝＝[5（Δt）2＋45Δt＋120]＝120, 即第1s末高度的瞬时变化率为120m/s. 它说明在第1s末附近,航天飞机的高度大约以120m/s的速度增加. 第1课时　导数的概念 　　（1）平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态,而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态,瞬时速度是平均速度当Δt趋于0时的极限值. （2）已知运动物体在s＝s（t）解析式的前提下才可求某一时刻的瞬时速度. 第1课时　导数的概念 3.某一运动物体,在x（s）时离开出发点的距离（单位：m）是f（x）＝x3＋x2＋2x. （1）求在第1 s内的平均速度； 解　（1）物体在第1s内的平均变化率（即平均速度）为＝m/s. 第1课时　导数的概念 解　（2）＝ ＝ ＝6＋3Δx＋（Δx）2. 当Δx→0时,→6, 所以物体在第1s末的瞬时速度为6m/s. （2）求在第1 s末的瞬时速度； 第1课时　导数的概念 解　（3）＝＝ ＝2x2＋2x＋2＋（Δx）2＋2x·Δx＋Δx. 当Δx→0时,→2x2＋2x＋2, 令2x2＋2x＋2＝14,解得x＝2, 即经过2s该物体的运动速度达到14m/s. （3）经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s？ 第1课时　导数的概念 对导数的定义式理解不准确 致错 [典例]已知函数f（x）的导函数f'（x）满足f'（2）＝2,求. [错解一]∵f'（2）＝2,∴＝f'（2）＝2. [错解二] ∵f'（2）＝2, 第1课时　导数的概念 ∴＝3＝3f'（2）＝6. [正解]　∵f'（2）＝2, ∴＝－3＝－3f'（2）＝－6. 第1课时　导数的概念 　　在导数定义中增量Δx形式是多种多样的,但不论Δx选择哪一种形式,相应的Δy也必须选择对应的形式,即深刻理解定义,牢固掌握概念形式： f'（x0）＝. 第1课时　导数的概念 [对应学生用书第48页] 1.设函数f（x）在x＝2处的导数存在,则＝（　　） A.－2f'（2） B.2f'（2） C.－f'（2） D.f'（2） 第1课时　导数的概念 解析　 ＝－＝－f'（2）. 答案　C 第1课时　导数的概念 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 4.利用导数的定义求函数f（x）＝3x2－2x在x＝1处的导数. 解　Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×12－2×1）＝3（Δx）2＋4Δx, ∵＝＝3Δx＋4, ∴y'｜x＝1＝＝（3Δx＋4）＝4. 第1课时　导数的概念 2．(四川内江高二期中)若f′(x0)＝－2，则 eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f（x0）－f（x0＋Δx）,Δx) ＝(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析　根据题意f′(x0)＝－2， 则 eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f（x0）－f（x0＋Δx）,Δx) ＝－ eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) ＝－f′(x0)＝2.故选D. 答案　D 3．函数f(x)＝x2在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2)) 上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝(　　) A． eq \f(1,2) B．1 C．2 D． eq \f(3,2) 解析　函数f(x)＝x2在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2)) 上的平均变化率为 eq \f(f（2）－f（0）,2－0) ＝ eq \f(4－0,2－0) ＝2，f(x)＝x2在x＝m时的瞬时变化率为 eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f（m＋Δx）－f（m）,Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) (Δx＋2m)＝2m，所以2＝2m，解得m＝1.故选B. 答案　B $$