4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第四章　数列 4.2等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 [学习任务] 1.能利用等差数列的前n项和解决实际问题.（重点） 2.会求等差数列前n项和的最值.（难点） 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 [对应学生用书第16页] 知识点　等差数列前n项和Sn的最值 （1）若a1＜0,d＞0,则数列的前面若干项为负数项（或0）,所以将这些项相加即得Sn的最 　小　⁠值. （2）若a1＞0,d＜0,则数列的前面若干项为正数项（或0）,所以将这些项相加即得Sn的最 　大　⁠值. 　　特别地,若a1＞0,d＞0,则 　S1　⁠是Sn的最 　小　⁠值；若a1＜0,d＜0,则 　S1　⁠是Sn的最大值. 小 大 S1 小 S1 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 [对应学生用书第16页] 探究一　等差数列前n项和的最值问题 [例1]　 在等差数列{an}中,若a1＝25,且S9＝S17,求Sn的最大值. [解]　方法一：∵S9＝S17,a1＝25, ∴9×25＋d＝17×25＋d, 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 解得d＝－2. ∴Sn＝25n＋×（－2）＝－n2＋26n＝－（n－13）2＋169. ∴当n＝13时,Sn有最大值,即S13＝169. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 方法二：同方法一,求出公差d＝－2. ∴an＝25＋（n－1）×（－2）＝－2n＋27. ∵a1＝25＞0, ∴解得 ∴当n＝13时,Sn有最大值. S13＝25×13＋×（－2）＝169,因此Sn的最大值为169. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 方法三：∵S9＝S17,∴a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. ∵a1＞0,∴d＜0.∴a13＞0,a14＜0. ∴当n＝13时,Sn有最大值. S13＝25×13＋×（－2）＝169. 因此Sn的最大值为169. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 方法四：设Sn＝An2＋Bn. ∵S9＝S17, ∴二次函数对称轴为n＝＝13,且开口方向向下, ∴当n＝13时,Sn取得最大值. 由方法一知d＝－2, ∴S13＝25×13＋×（－2）＝169. 因此Sn的最大值为169. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 　　等差数列的求和公式在日常生活中有广泛的应用,利用它可以解决一些分期付款、行程、相遇问题,解有关数列的应用问题,应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型,最后求出符合实际的答案,其具体步骤为： （1）判断问题中涉及的数列是否为等差数列； （2）若是等差数列,找出首项、公差、项数； （3）确认问题是求an还是Sn； （4）选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 2.（南通高二月考）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感,据资料统计,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8 670人,则11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 解　设该市第n日（n∈N*,1≤n≤30）感染此病毒的新患者人数最多. 则从11月1日至第n日,每日感染此病毒的新患者人数构成一个等差数列.其首项为20,公差为50. 前n日患者总人数Sn＝20n＋×50＝25n2－5n. 从第n＋1日开始至11月30日止,每日感染此病毒的新患者人数依次构成另一个等差数列. 其首项为20＋（n－1）×50－30＝50n－60,公差为－30. 项数为（30－n）, 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 其患者总人数为T30－n＝（30－n）（50n－60）＋×（－30）＝－65n2＋2445n－14850. 由题意可得Sn＋T30－n＝8670, 即（25n2－5n）＋（－65n2＋2445n－14850）＝8670. 化为n2－61n＋588＝0, 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 解得n＝12（1≤n≤30）. ∴n＝12, 第12日的新患者人数为20＋（12－1）×50＝570. ∴11月12日该市感染此病毒的新患者人数最多,且这一天新患者人数为570. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 探究三　与等差数列有关的求和问题 1.倒序相加法 [例3]　设函数f（x）＝,利用教材中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得 f（－5）＋f（－4）＋…＋f（0）＋…＋f（5）＋f（6）＝ 　　　　⁠.  ⁠ 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 [解析]　∵f（x）＝, ∴f（x）＋f（1－x）＝＋ ＝＋＝＋ ＝＋＝＝. 令S＝f（－5）＋f（－4）＋…＋f（0）＋…＋f（5）＋f（6）, 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 ∴S＝f（6）＋f（5）＋…＋f（0）＋…＋f（－4）＋f（－5）, ∴2S＝×12,∴S＝3. [答案]　3 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 倒序相加法的适用范围和步骤 倒序相加法适用于与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和的数列. 其解题步骤：（1）将原数列倒序排列；（2）将倒序数列与原数列相加；（3）求和. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 [例4]　在数列{an}中,a1＝1,当n≥2时,其前n项和Sn满足＝an. （1）证明为等差数列,并求Sn的表达式； 2.裂项相消法 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 [解]　（1）证明：∵＝an,an＝Sn－Sn－1（n≥2）,∴＝（Sn－Sn－1）, 由题意得Sn－1Sn≠0, 将①式两边同除以Sn－1Sn,得－＝2（n≥2）, ∴数列是首项为＝＝1,公差为2的等差数列, ∴＝1＋2（n－1）＝2n－1,∴Sn＝. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 （2）设bn＝,求{bn}的前n项和Tn. [解]　（2）∵bn＝＝＝, ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝＝. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 　　（1）裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项可有规律地相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项,从而达到求和的目的. （2）消项规律：消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项. （3）将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.例如,若{an}是等差数列,则＝,＝. 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1＝－11,a4＋a6＝－6,则当Sn取最小值时,n等于（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 解析　由a4＋a6＝2a5＝－6,解得a5＝－3,又a1＝－11,所以a5＝a1＋4d＝－11＋4d＝－3,解得d＝2,则an＝－11＋2（n－1）＝2n－13,所以Sn＝＝n2－12n＝（n－6）2－36,所以当n＝6时,Sn取最小值. 答案　A 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 第四章 数列 第四章 数列 3.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来争三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”大致意思是：一个老人有九个儿子,若问他们的生年是不知道的,但从老大的年龄开始排列,后面一个儿子比前面一个儿子小3岁,九个儿子共207岁,问老大是多少岁？ （　　） A.38 B.35 C.32 D.29 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 解析　由题意可知,九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄a1为首项,－3为公差的等差数列,所以9a1＋×（－3）＝207,解得a1＝35. 答案　B 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 第四章 数列 在等差数列{an}中，有关Sn的最值问题： (1)利用等差数列与函数的关系来解决．等差数列的前n项和Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d＝ eq \f(d,2) n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2))) n可看成二次函数y＝ eq \f(d,2) x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2))) x当x＝n时的函数值，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题． (2)当a1＞0，d＜0时，满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0)) 的m使得Sn取得最大值Sm(当am＋1＝0时，Sm＝Sm＋1，Sm，Sm＋1均为Sn的最大值). (3)当a1＜0，d＞0时，满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0)) 的m使得Sn取得最小值Sm(当am＋1＝0时，Sm＝Sm＋1，Sm，Sm＋1均为Sn的最小值). 1．(1)(四川泸州月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－9，a2＋a4＝－10，则Sn的最小值为(　　) A．－25 B．－35 C．－45 D．－55 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 023＞0，S2 024＜0，则当Sn最大时，n＝(　　) A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．1 013 解析　(1)设公差为d，则a2＋a4＝(－9)＋d＋(－9)＋3d＝－10，得d＝2. 方法一：Sn＝n×(－9)＋ eq \f(n（n－1）,2) ×2＝n2－10n＝(n－5)2－25，所以n＝5时，Sn取得最小值－25. 方法二：an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，当n≥6时，an＞0，当n≤5时，an＜0，所以当n＝5时，Sn取得最小值，最小值为S5＝ eq \f(5×（－9－1）,2) ＝－25. (2)由S2 023＞0可得S2 023＝ eq \f(2 023（a1＋a2 023）,2) ＝2 023a1 012＞0，即a1 012＞0. 由S2 024＜0可得 S2 024＝ eq \f(2 024（a1＋a2 024）,2) ＝1 012(a1 012＋a1 013)＜0， 即a1 012＋a1 013＜0，故a1 013＜0， 则数列{an}是前1 012项为正数，从第1 013项开始为负数的递减数列，故当Sn最大时，n＝1 012. 答案　(1)A　(2)C 探究二　等差数列求和的实际应用问题 [例2]　湖北新冶钢有限公司(简称为“新冶钢”)是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费用12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值． [解]　由题意可知各年的维护费用(单位：万元)构成以12为首项，6为公差的等差数列， 设购买该台机器n年后的盈利为S万元， 则S＝69n－192－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12n＋\f(n（n－1）,2)×6)) ＝－3n2＋60n－192. 令S＞0，则n2－20n＋64＜0，解得4＜n＜16. 设购买该台机器n年后的年平均利润为y万元， 则y＝ eq \f(－3n2＋60n－192,n) ＝－3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(64,n))) ＋60≤－3×2 eq \r(n·\f(64,n)) ＋60＝12，当且仅当n＝8时取“＝”， 因此，购买该台机器8年后的年平均利润最大，最大年平均利润是12万元． 3．(1)(河南驻马店高级中学模拟)已知函数f(x)＝x＋3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) ＋ eq \f(1,2) ，数列{an}满足an＝ eq \f(n,2 023) ，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 022)＝(　　) A．2 022 B．2 023 C．4 044 D．4 046 解析　由已知得f(1－x)＝1－x＋3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x)) ＋ eq \f(1,2) ，∴f(x)＋f(1－x)＝2.∵an＋ a2 023－n＝ eq \f(n,2 023) ＋ eq \f(2 023－n,2 023) ＝1，∴f(an)＋f(a2 023－n)＝2.令S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋ f(a2 022)，则S＝f(a2 022)＋f(a2 021)＋…＋f(a1)，两式相加得2S＝2×2 022，∴S＝2 022.故选A. 答案　A (2)(陕西榆林期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，Sn＋1＋Sn＝ (n＋1)an＋1. ①求{an}的通项公式； ②若bn＝ eq \f(1,anan＋1) ，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　①当n＝1时，S2＋S1＝2a2，解得a2＝2a1＝6. 当n≥2时，由Sn＋1＋Sn＝(n＋1)an＋1，得Sn＋Sn－1＝nan，两式相减得an＋1＋an＝(n＋1)an＋1－nan，即 eq \f(an＋1,an) ＝ eq \f(n＋1,n) ，利用累乘法可得 eq \f(a2,a1) · eq \f(a3,a2) · eq \f(a4,a3) ·…· eq \f(an,an－1) ＝ eq \f(2,1) × eq \f(3,2) × eq \f(4,3) ×…× eq \f(n,n－1) ，即 eq \f(an,a1) ＝n.因为a1＝3，所以an＝3n，所以{an}的通项公式为an＝3n. ②由①可知bn＝ eq \f(1,3n·3（n＋1）) ＝ eq \f(1,9n（n＋1）) ＝ eq \f(1,9) ( eq \f(1,n) － eq \f(1,n＋1) )，则Tn＝ eq \f(1,9) (1－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) － eq \f(1,3) ＋…＋ eq \f(1,n) － eq \f(1,n＋1) )＝ eq \f(1,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1))) ＝ eq \f(n,9n＋9) . 所以数列{bn}的前n项和Tn＝ eq \f(n,9n＋9) . 2．已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1)) (n∈N*)，若其前n项和为9，则项数n为(　　) A．99 B．100 C．101 D．102 解析　设数列{an}的前n项和为Sn.因为an＝ eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1)) ＝ eq \r(n＋1) － eq \r(n) ，所以数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ eq \r(2) － eq \r(1) ＋ eq \r(3) － eq \r(2) ＋…＋ eq \r(n＋1) － eq \r(n) ＝ eq \r(n＋1) －1.令Sn＝ eq \r(n＋1) －1＝9，解得n＝99.故选A. 答案　A 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝25，S17＝S9.若Sm＝S14，则m的值为________. 解析　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝ eq \f(d,2) n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2))) n，所以Sn可看成二次函数y＝ eq \f(d,2) x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2))) x当x＝n时的函数值．由二次函数图象的对称性及S17＝S9，Sm＝S14可得 eq \f(17＋9,2) ＝ eq \f(m＋14,2) ，解得m＝12. 答案　12 $$