4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第四章　数列 4.2等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和 [学习任务] 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程,掌握等差数列五个量a1,n,d,an,Sn之间的关系.（重点） 2.掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用.（重点、难点） 第1课时　等差数列的前n项和 [对应学生用书第13页] 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋ d na1＋d 第1课时　等差数列的前n项和 2.等差数列前n项和的性质 （1）若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为. （2）若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列,公差为m2d. （3）设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则＝. 第1课时　等差数列的前n项和 （4）若等差数列的项数为2n,则S2n＝n（an＋an＋1）, S偶－S奇＝nd,＝（S奇≠0）. （5）若等差数列的项数为2n＋1,则S2n＋1＝（2n＋1）an＋1（an＋1是数列的中间项）,S偶－S奇＝－an＋1,＝（S奇≠0）. 第1课时　等差数列的前n项和 [对应学生用书第14页] 探究一　等差数列前n项和的有关计算 [例1]　在等差数列{an}中： （1）已知a6＝10,S5＝5,求a8； 第1课时　等差数列的前n项和 [解]　（1）方法一：∵a6＝10,S5＝5, 解得∴a8＝a6＋2d＝16. 方法二：∵S6＝S5＋a6＝15, ∴15＝,即3（a1＋10）＝15. ∴a1＝－5,d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16. 第1课时　等差数列的前n项和 [解]　（2）方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝, 所以a1＋2d＝. 所以S5＝5a1＋×5×（5－1）d＝5a1＋2×5d ＝5（a1＋2d）＝5×＝24. （2）已知a2＋a4＝,求S5. 第1课时　等差数列的前n项和 方法二：a2＋a4＝a1＋a5,所以a1＋a5＝. 因为Sn＝, 所以S5＝＝×＝24. 第1课时　等差数列的前n项和 　　（1）本题解答中,第（1）小题方法一运用了方程的思想,属基本运算,通性通法；方法二使用了Sn＝Sn－1＋an.第（2）小题因为条件只有一个,所以运用整体代换的思想. （2）由于Sn＝,故计算时考虑一下“a1＋an”这个小团体是否可以借助等差数列的性质求解. （3）等差数列的通项公式和前n项和公式共涉及“a1,an,d,n及Sn”五个量,反映了“知三求二”的方程思想. 第1课时　等差数列的前n项和 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 探究二　等差数列前n项和性质的应用 [例2]　（1）等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m； [解]　（1）方法一：在等差数列中, ∵Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列, ∴30,70,S3m－100成等差数列. ∴2×70＝30＋（S3m－100）,∴S3m＝210. 第1课时　等差数列的前n项和 方法二：在等差数列中,,,成等差数列, ∴＝＋. 即S3m＝3（S2m－Sm）＝3×（100－30）＝210. 第1课时　等差数列的前n项和 （2）两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知＝,求的值. [解]　（2）＝＝＝＝＝. 第1课时　等差数列的前n项和 等差数列前n项和运算的几种思维方法 （1）整体思路：利用公式Sn＝,设法求出整体a1＋an,再代入求解. （2）待定系数法：利用当公差d≠0时Sn是关于n的二次函数,设Sn＝An2＋Bn（A≠0）,列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设＝an＋b（a≠0）进行计算. （3）利用Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等差数列进行求解. 第1课时　等差数列的前n项和 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 探究三　求数列{｜an｜}的前n项和 [例3]　已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25,求数列{｜an｜}的前n项和. [解]　∵an＝4n－25,an＋1＝4（n＋1）－25, ∴an＋1－an＝4＝d. 又a1＝4×1－25＝－21, ∴数列{an}是以－21为首项,以4为公差的递增的等差数列. 令 第1课时　等差数列的前n项和 由①得n＜6,由②得n≥5,∴n＝6, 即数列{｜an｜}的前6项是以21为首项,－4为公差的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列. 而｜a7｜＝a7＝4×7－25＝3. 设{｜an｜}的前n项和为Tn,则 Tn＝ 即Tn＝ 第1课时　等差数列的前n项和 　　已知等差数列{an},求数列{｜an｜}的前n项和的注意事项： （1）一般地,数列{an}与数列{｜an｜}是两个不同的数列,只有当数列{an}的每一项都是非负数时,它们才表示同一个数列； （2）求{｜an｜}的前n项和,关键在于分清哪些项为正项,哪些项为负项,最终化为去掉绝对值符号后的数列求和； （3）数列{｜an｜}的前n项和求解的易错点在于没有考虑分类讨论,最后结果未分段表示. 第1课时　等差数列的前n项和 3.已知等差数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,若S2＝16,S4＝24,求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 解　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由S2＝16,S4＝24, 得即解得 所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n（n∈N*）. 由an≥0,解得n≤5,则 第1课时　等差数列的前n项和 ①当n≤5时,Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n. ②当n≥6时,Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×（－52＋10×5）－（－n2＋10n）＝n2－10n＋50, 故Tn＝ 第1课时　等差数列的前n项和 不能正确应用等差数列的前 n项和公式致错 [典例] 有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn和Tn,若＝,求. [错解]＝＝＝＝. 第1课时　等差数列的前n项和 [错解分析]　序号对应不准,忽视了第几项的比与前几项和的比是不对等的. [正解]　方法一：＝＝＝＝＝＝. 方法二：因为＝,所以设Sn＝（3n－1）kn,Tn＝（n＋7）kn,k≠0, a7＝S7－S6＝38k,b7＝T7－T6＝20k, 所以＝＝. 第1课时　等差数列的前n项和 　　等差数列的前n项和为关于n的二次函数.对于此类问题有如下结论：＝（m∈N*）. 第1课时　等差数列的前n项和 [对应学生用书第15页] 1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2＝3,a8＝11,则S9等于 （　　） A.13 B.35 C.49 D.63 解析　∵{an}为等差数列,∴a1＋a9＝a2＋a8, ∴S9＝＝＝63. 答案　D 第1课时　等差数列的前n项和 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1＝,S4＝20,则S6等于（　　） A.16 B.24 C.36 D.48 解析　设等差数列{an}的公差为d,由已知得4a1＋d＝20,即4×＋d＝20,解得d＝3,∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48. 答案　D 第1课时　等差数列的前n项和 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 1．(1)(天津和平期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，S10＝30，则S20＝(　　) A．40 B．70 C．90 D．100 (2)在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为(　　) A．200 B．100 C．90 D．70 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1＋\f(5×4,2)×d＝10，,10a1＋\f(10×9,2)×d＝30，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(6,5)，,d＝\f(2,5)，)) 所以S20＝20a1＋ eq \f(20×19,2) ×d＝20× eq \f(6,5) ＋190× eq \f(2,5) ＝100. 故选D. (2)设该等差数列为{an}，其前n项和为Sn， 则由题意可知a1＝－20，a10＝40， 所以S10＝ eq \f(10×（－20＋40）,2) ＝100. 答案　(1)D　(2)B 2．(1)(山东潍坊高二段考)已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　) A．30 B．29 C．28 D．27 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝16，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．9 B．11 C．13 D．25 解析　(1)∵等差数列{an}共有2n＋1项， ∴奇数项共有n＋1项，其和为 eq \f(a1＋a2n＋1,2) ×(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝290①， 偶数项共有n项，其和为 eq \f(a2＋a2n,2) ×n＝nan＋1＝261②. 由①－②得an＋1＝29.故选B. (2)方法一：设等差数列{an}的公差为d. ∵S3＝7，S6－S3＝9，且S3，S6－S3，S9－S6成等差数列， ∴S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝11，即a7＋a8＋a9＝11.故选B. 方法二：∵{an}为等差数列，∴ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n))) 也是等差数列， ∴ eq \f(S3,3) ， eq \f(S6,6) ， eq \f(S9,9) 分别是数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n))) 的第3项，第6项和第9项， ∴ eq \f(S3,3) ＋ eq \f(S9,9) ＝2× eq \f(S6,6) ，代入S3＝7，S6＝16，解得S9＝27， ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝11. 答案　(1)B　(2)B 方法二：∵{an}为等差数列，∴ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n))) 也是等差数列， ∴ eq \f(S3,3) ， eq \f(S6,6) ， eq \f(S9,9) 分别是数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n))) 的第3项，第6项和第9项， ∴ eq \f(S3,3) ＋ eq \f(S9,9) ＝2× eq \f(S6,6) ，代入S3＝7，S6＝16，解得S9＝27， ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝11. 答案　(1)B　(2)B 3．(安徽阜阳期末)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差不为0，若S5＝S10，则(　　) A．S5＝0　　　　 B．S8＝0 C．S15＝0 D．S17＝0 解析　因为S5＝S10，所以S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，解得a8＝0，故S15＝ eq \f(15（a1＋a15）,2) ＝15a8＝0.故选C. 答案　C 4．(重庆广益中学月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－3，S4＝0. (1)求{an}的通项公式和Sn； (2)求a2＋a4＋…＋a8＋a10＋a12的值． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由a1＝－3，S4＝0，得4a1＋6d＝－12＋6d＝0， 解得d＝2， ∴an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝－3n＋ eq \f(n（n－1）,2) ×2＝n2－4n. (2)由(1)得a2＝2×2－5＝－1，a12＝2×12－5＝19， ∴a2＋a4＋…＋a8＋a10＋a12＝ eq \f(6×（－1＋19）,2) ＝54. $$