2024年九年级中考数学压轴专题复习讲义-03二次函数背景下的角度专题（二）　

九年级专题复习讲义 主题：03二次函数背景下的角度专题（二） 我爱数学，学习使我快乐 等角、特殊角问题分析思路 二次函数中出现的特殊角一般是45°和135°，常以一次函数的形式或者点坐标可以判断出来。 解题策略： · 注意题目中的特殊角45°和135°； · 灵活应用三角比、改邪（斜）归正； · 有时特殊角度可以转换为相似问题； · 45°与的结合（要通过线段证明）； · 对称轴∥y轴，注意内错角和同位角等. 题型二：特殊角专题（充分考虑45°角的特点，利用和解决问题） 【例1】【2022宝山一模】已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为点D. （1） 求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2） 联结BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠PAC=45°.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）抛物线的表达式是………………………3分 ∴顶点D（1,4）………………………………………1分 （2）略 （3）过C和B分别作y轴和x轴的垂线，交于点M， 在BM上取点Q，使得MQ=AO，∴Q（3，2），BQ=2.…………………………………1分 易证△CQM ≌△CAO，∴∠ACO=∠QCM，CA=CQ，∴∠ACQ=90°.…………………1分 ∴∠CAQ=45°，∴AQ与抛物线在第一象限内的交点即为点P. 设点P的坐标是（，），且m＞0. 过点P作PG⊥x轴，垂足为G，∴G（，0）， ∴AG=，， tan∠QAB=，∴tan∠PAG=，…………………1分 ∴， 解得（不合题意，舍去），，∴点P的坐标是…………………1分 【例2】【23青浦一模】如图12，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）已知点P（1，m）与点Q都是抛物线上的点． ① 求的值； ② 如果∠QBP=45°，求点Q的坐标． 【答案】（1）． 点C的坐标为（0，2） （1分） （2）①过点P作PH⊥BC，垂足为点H． ∵P（1，m）在上， ∴，P（1，2） ． （1分） ∵C（0，2），B（2，0） ， ∴．PC⊥OC，∠BCO=45°，∠PCH=45°． （1分） ∴．BH=BC–CH=． （1分） ∴tan∠PBC=． （1分） ②由题意可知，点Q在第二象限．过点Q作QD⊥x轴，垂足为点D． ∵∠QBP=∠CBA=45°，∴∠QBD=∠CBP． ∵tan∠PBC=．∴tan∠QBD =． （1分） 设DQ=a，则BD=3a，OD=3a-2．∴Q（2-3a，a）． （1分） 将Q（2-3a，a）代入，得． 解得，（舍）．∴P（，）． （2分） 【例3】【2023松江二模】在平面直角坐标系xOy中（如图6），已知直线与y轴交于点A，抛物线的顶点为B. （1）若抛物线经过点A，求抛物线解析式； （2）将线段OB绕点B顺时针旋转，点O落在点C处，如果点C在抛物线上，求点C的坐标； （3）设抛物线的对称轴与直线交于点D，且点D位于轴上方，如果，求的值. 1 2 3 x 1 3 y O -1 -1 2 A （图6）   【答案】（1）抛物线解析式………1分 （2）作BE⊥y轴于点E，作CF⊥BE于点F, 则OE=1，BE=t， △OBE≌△BCF．则BF=1，CF=t， ∴C……………2分 ∵点C在抛物线上，∴，∴ 1 2 3 x 1 3 y O -1 -1 2 A （图6）   B D ∴ C………2分 （3）D，B………1分 ∵∠OAD=∠BOD=，∠AOD=∠ODB ∴△AOD∽△ODB………2分 ∴∴∴ ∴， ∵，∴………2分 【例4】 【2023金山二模】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； （3）点在直线上，若，求点的坐标． 【答案】（1） ； 其对称轴为直线 （2）设平移后抛物线的表达式为 (1分) ∵和点 ∴直线AB的表达式为与y轴交于点C（0，2） (1分) 因为平移后的抛物线经过点C，所以代入可得n=2 此时求得平移后的抛物线顶点P（，） (1分) 因为点P在原抛物线上，所以代入原抛物线表达式中得 解得：， ∵点在对称轴的右侧，所以 ∴ P（3，） (1分) （3）如图所示，作E1G⊥AB，垂足为G 设直线AB与直线x=1交于F，点F（1,3） ∴ (1分) 由，∠E1GF=45°，可设E1G=t， 则FG