小升初典型奥数：容斥原理(讲义)-2023-2024学年六年级下册小升初数学思维拓展提升讲义（苏教版）

容斥原理 ( 板块一：知识精讲 ) ( ) 【知识点归纳】 在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 容斥原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数 用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）． 容斥原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C ( 板块二：典题精练 ) 例题一．三（1）、三（2）班共有78个学生，现统计学生们喜欢小说类还是文学类的图书，其中喜欢小说类的有39人，既喜欢小说类又喜欢文学类的有18人。喜欢文学类的有多少人？ 【答案】57人。 【分析】从喜欢小说类的39人中去掉既喜欢小说类又喜欢文学类的18人，剩下的人数就是只喜欢小说类的，用总人数减去只喜欢小说类的，剩下的就是喜欢文学类的。 【解答】解：39﹣18＝21（人） 78﹣21＝57（人） 答：喜欢文学类的有57人。 【点评】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。 例题二．班上42名同学喜欢水果情况如下，每人最少喜欢一种水果，其中34名同学喜欢菠萝，25名同学喜欢水蜜桃。你知道这两种水果都喜欢的人数吗？ 【答案】17人。 【分析】先用34加上25求出两者的和，这样两种水果都喜欢的人数多算了一次，然后减去实际的总人数42就是这两种水果都喜欢的人数。 【解答】解：34+25﹣42 ＝59﹣42 ＝17（人） 答：两种水果都喜欢吃的有17人。 【点评】完成本题的依据为容斥原理之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣A类B类元素个数总和A。 例题三．为了丰富同学们的课外知识，三（2）班组织学生订阅刊物，有两种刊物供选择，每人至少订一种。订《少年博览》的有32人，订《少儿百王》的有25人，两种刊物都订的有12人，三（2）班共有多少名同学？ 【答案】45名。 【分析】用订《少年博览》的人数加上订《少儿百王》的人数，然后再减去两种刊物都订的人数，即可求出三（2）班共有多少名同学。由此解答即可。 【解答】解：32+25﹣12 ＝57﹣12 ＝45（名） 答：三（2）班共有45名同学。 【点评】此题考查容斥原理的简单应用。 ( 板块三：考前冲刺 ) 一．选择题（共20小题） 1．三（2）班有44人参加体育测试，每人至少有一门达标，仰卧起坐达标的有32人，100m跑达标的有27人。有（　　）人仰卧起坐和100m都达标了。 A．17 B．15 C．12 2．杨老师给三（2）班的同学出了两道思考题。批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有30人，第2题做对的有25人，两道题都做对的有13人。三（2）班一共有（　　）名学生？ A．68 B．42 C．55 3．三一班喜欢唱歌和画画的人数情况如图，下列（　　）种说法是正确的。 A．喜欢画画的有19人 B．三一班有44人 C．只喜欢唱歌的有25人 4．三年级有21人参加跳绳、踢毽比赛。参加跳绳的有15人，参加踢毽的有17人，两项都参加的有（　　）人。 A．10 B．4 C．6 D．11 5．三（1）班同学参加庆元旦演出的小组合唱和舞蹈节目人数情况如图，说法正确的是（　　） A．参加小组唱的有7人 B．参加舞蹈节目的有12人 C．参加这两个节目的一共有15人 6．下面是三（2）班同学喜欢“踢足球”和“打篮球”情况的调查统计，喜欢“踢足球”的同学共有（　　）人。 A．13 B．18 C．27 7．有10个人参加才艺表演，表演舞蹈的有5人，表演唱歌的有8人，两种都表演的有（　　）人。 A．10 B．8 C．3 8．如表是陆爷爷去西湖或左海公园锻炼身体，一周七天的记录表。下面的图（　　）能清楚地表示出陆爷爷去这两个公园的情况。 西湖公园 周一 周二 周三 周四 周五 周日 左海公园 周二 周三 周六 A． B． C． D．都不对