专练4　基本不等式——2025届高三数学一轮复习

专练4　基本不等式 [基础强化] 一、选择题 1．函数y＝2x＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为(　　) A．2 B． C．4 D． 3．下列结论正确的是(　　) A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2 B．当x∈时，sin x＋的最小值为4 C．当x>0时，＋≥2 D．当0<x≤2时，x－无最大值 4．下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab C．a＋b≥2 D．a＋b≥－2 5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最大值为(　　) A． B． C． D． 6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 7．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 8．若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)，a与b相互垂直，则9x＋3y的最小值为(　　) A．12 B．2 C．3 D．6 9．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 二、填空题 10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________. 11．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 12．[2023·山东聊城一中高三测试]已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________． [能力提升] 13．[2023·合肥一中高三测试]若a，b都是正数，则的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 14．(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b＞ C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 15．(多选)已知a，b，c为正实数，则(　　) A．若a＞b，则＜ B．若a＋b＝1，则＋的最小值为1 C．若a＞b＞c，则＋≥ D．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为3 16． 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________ 参考答案 专练4　基本不等式 1．C　因为2x>0，所以y＝2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时取“＝”．故选C. 2．B　∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴0<ab≤2，≥，∴的最小值为. 3．C　当x∈(0，1)时，lg x<0，故A不成立，对于B中sin x＋≥4，当且仅当sin x＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B不正确；D中y＝x－在(0，2]上单调递增，故当x＝2时，y有最大值，故D不正确；又＋≥2＝2(当且仅当＝即x＝1时等号成立).故C正确． 4．B　对于A，C，D，当a＝0，b＝－1时，a2＋b2＞2ab，a＋b＜2，a＋b＜－2，故A，C，D错误；对于B，因为a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|＝2|ab|≥－2ab，所以B正确．故选B. 5．C　x＋2y＝1⇒y＝，则＝. ∵x>0，y>0，x＋2y＝1， ∴0<x<1. 设3x＋1＝t(1<t<4)，则x＝， 原式＝＝－≤－2＝， 当且仅当＝，即t＝2，x＝，y＝时，取等号，则的最大值为，故选C. 6．B　∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2＝4. 7．C　因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝即a＝b＝2时取“＝”，故选C. 8．D　∵a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2， ∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴9x＋3y的最小值为6. 9．C　设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x＞0，y＞0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C. 10. 解析：∵a－3b＋6＝0，∴ a－3b＝－6，∴ 2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝.当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b