专题8.3 二项分布及超几何分布（七个重难点突破）-2023-2024学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

专题8.3二项分布及超几何分布 知识点1二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 知识点2超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 重难点1重伯努利试验的判断及概率问题 【例1】（多选题）下列例子中随机变量X服从二项分布的有（    ） A．X表示重复拋掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标所需次数 C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 【例2】甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】小明同小华一起玩掷骰子游戏，比赛谁能掷出奇数点.游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷.问： (1)小明共投掷n次，是否可看作n重伯努利试验？小华共投掷m次，是否可看作m重伯努利试验？ (2)在游戏的全过程中共投掷了次，则这次是否可看作重伯努利试验？ 【变式1-2】2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植的概率均分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种值，且至少有1人愿意种植时概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若干人独立地向一游动目标射击，每人击中目标的概率都是0.6，若要以0.97以上的概率击中目标，则至少需要的人数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 重伯努利试验概率求法步骤：①依据重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为重伯努利试验；②判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加法公式(或独立事件概率乘法公式)计算. 重难点2二项分布的均值与方差 【例3】设随机变量，若，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【例4】设随机变量，，若，则 ， . 【变式2-1】已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若随机变量，则下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若随机变量，且，则 . 若服从二项分布，则 重难点3二项分布的应用 【例5】小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号． (1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率； (2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望． 【例6】中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； (2)将频率视为概率，