专题08 空间中的垂直问题十个重难点归类-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

专题08空间中的垂直问题 一、直线与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 二、平面与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 三、空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 【重难点01 异面直线所成角的问题】 例1．在正四面体中，是的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，在正三棱柱中，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 求异面直线所成的角的步骤:①用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线；②转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角；③设由②所求得的角的大小为，若,则为所求;若,则为所求 【跟踪练习】 练习1．在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角为（ ） A． B． C． D． 练习2．如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）      A． B． C． D． 练习3．如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 练习4．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（    ） A．1 B． C．1或2 D．2或 【重难点02 判断有关垂直的命题】 例3．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(    ) A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例4．已知直线是三条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则平面 C．若，且，则 D．若，且，则 需对线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行熟练，结合空间想象能力进行判断 【跟踪练习】 练习1．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 练习2．设是两个平面，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 练习3．已知为两条不同的直线，是两个不同的平面，现有如下命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 则一定正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习4．（多选）已知m、n为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【重难点03 线面垂直的性质定理及判定定理】 例5．正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）.当点是棱的中点时，求证：直线平面； 例6．已知矩形所在的平面，且N，M，O分别为，，的中点．求证：    (1)平面平面； (2)平面． 1.利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； 2.要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 【