第5章 专题4 巧解平行线中“拐角”问题-【深思维】2023-2024学年七年级下册数学重难题型专项训练（人教版）

| 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　七年级·下册　 22 专题 4 巧解平行线中“拐角”问题 答案见 6页 A 金题试做｜经典好题，你来挑战 引例 /人教 P23习题 7变式 /　如图1,直线l1∥l2,直线EF 和直线l1,l2 分别相交于C,D 两点,点 A,B 分别在直线l1,l2 上,点P 在直线EF 上,连接PA,PB. (1)若点P 在线段CD 上,且∠PAC=15°,∠PBD=40°,则∠APB 的度数为 ; (2)若点P 在线段CD 上,试探究∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的数量关系,并说明理由; (3)如图2,若点P 在射线CE 或射线DF 上,试探究∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的数量关系, 并说明理由. (引例图1) (引例图2) 解析 (引例图1) (引例图2) (引例图3) (1)过点P 作PG∥直线l1,再根据平行线的性质即可得到∠APB 的度数; (2)根据题意,作出辅助线,再根据平行线的性质即可得到∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的数量关系; (3)由于点P 的位置不同,所以分两种情况:第一种是点P 在射线CE 上;第二种是点P 在射线DF 上.再分 别作辅助线,然后根据平行线的性质即可得到∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的数量关系. 解:(1)55° (2)∠APB=∠PAC+∠PBD.理由如下: 如图1,过点P 作PG∥l1. ∵l1∥l2,∴PG∥l1∥l2. ∴∠APG=∠PAC,∠BPG=∠PBD. ∴∠APB=∠APG+∠BPG=∠PAC+∠PBD. (3)如图2,当点P 在射线CE 上时,过点P 作PG∥l1. ∵l1∥l2,∴l1∥l2∥PG. ∴∠APG=∠PAC,∠BPG=∠PBD. ∵∠APB=∠BPG-∠APG,∴∠APB=∠PBD-∠PAC. 如图3,当点P 在射线DF 上时,过点P 作PG∥l2. ∵l1∥l2,∴l1∥l2∥PG. ∴∠APG=∠PAC,∠BPG=∠PBD. ∵∠APB=∠APG-∠BPG,∴∠APB=∠PAC-∠PBD. 综上所述,当点P 在射线CE 上时,∠APB=∠PBD-∠PAC; 当点P 在射线DF 上时,∠APB=∠PAC-∠PBD. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　七年级·下册　 23 B 对点集训｜举一反三，吃透考点 变式 1 ▶ / 2022甘井子区期末改编 /　如 图1,直 线 EF 分 别 与 直 线 AB,CD 相 交 于 点G,H,且∠AGE+ ∠DHE=180°. (1)求证:AB∥CD; (2)如图2,若点M 在直线AB,CD 之间,且在GH 的左侧,连接GM,HM.求证:∠M=∠AGM+ ∠CHM; (3)如图3,在(2)的条件下,射线 GH 平分∠BGM,延长 MH 到点 N,连接 GN,若∠N= ∠AGM,∠M=∠N+ 1 2∠FGN ,求∠MHG 的度数. (变式1图1) (变式1图2) (变式1图3) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　七年级·下册　 24 变式 2 ▶ / 2022安徽期中 /　如图1,MN∥PQ,点C,B 分别在直线MN,PQ 上,点A 在直线MN,PQ 之间. (1)∠CAB,∠MCA 和∠PBA 之间的数量关系为 ; (2)如图2,CD∥AB,点E 在PQ 上,∠ECN=∠CAB,求证:∠MCA=∠DCE; (3)如图3,BF 平分∠ABP,CG 平分∠ACN,AF∥CG,若∠CAB=57°,求∠AFB 的度数. (变式2图1) (变式2图2) (变式2图3) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　七年级·下册　 25 变式 3 ▶ / 2023重庆期中 /　如图1,已知AB∥CD,CF 平分∠DCE. (1)若∠DCF=25°,∠E=20°,求∠ABE 的度数; (2)如图2,若∠EBF=2∠ABF,∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°,求∠ABE 的度数; (3)如图3,在(2)的条件下,P 为BE 的延长线上一点,H 为线段CD 上一点,PK 平分∠BPH, HN∥PK,HM 平分∠DHP,∠DHQ=2∠DHN,求∠PHQ 的度数. (变式3图1) (变式3图2) (变式3图3) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　七年级·下册　 26 C 深度提升｜思维整合，融会贯通 拓展 1 ▶ / 2022大连期末改编 /　如图1,点E,F 分别在直线AB,CD 上,连接EF,P 为AB,CD 之间一点,连 接PE,过点P 作PG∥EF 交CD 于点G,且∠CGP=∠BEF. (1)求证