11.3.3 平面与平面平行（教学课件）高一数学人教B版必修第四册

11.3.3 平面与平面平行 生活中有好多平面与平面平行的例子，怎样用数学的方法来解决立体几何中的面面平行问题？ 1.理解平面与平面平行的判定定理与性质定理. (重点) 2.能够运用判定定理和性质定理证明简单的平行问题.(难点) 3.体会等价转化思想在解决问题中的运用. 二层楼房示意图 第一、二层的底面α和β无论怎样延伸都没有公共点； 前、后两面房顶γ和δ则有一条交线AB． 探究1 平面与平面的位置关系 思考：通过上述实例可以看出 两个平面的位置关系有哪几种？ 两个平面的位置关系只有两种 （1）两个平面平行 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． （2）两个平面相交 如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交． 探究2 平面与平面平行的判定 思考1：如何判定两个平面平行呢？ 可以利用定义，即用平面与平面交点的个数进行判定. 但是我们知道这种方法是很困难的. 追问：如果用线面平行来推的话，最少需要几条直线呢？什么样的直线呢？ l′ m′ α β 思考2：假设直线l与直线m都在平面α内，且l∩m,将直线l与直线m同时平移出平面α（记平移后的直线分别为l′与m′),则l//l′,m//m′,设l'与m'确定的平面为β，猜想平面α与平面β有什么位置关系？ m l ∥. 证明：如图所示，假设α与β有公共点，且α∩β=k， 由l//l′ , 且l′，可知 l′// ， 又因为l′ , ，所以 l′// ,同理有 ′// 因此 ′// l′ ,这与l′与m′相交矛盾，所以 α//β. 1.直线与平面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行. α β P 符号语言： 简记：线面平行,则面面平行. 线不在多，相交则灵 思考3：在平面与平面平行的判定定理中，“∥,∥”，可用什么条件替代？由此可得什么推论？ α β l′ m′ 可用“l′ ⊂β,m′⊂β，l与m 相交,l∥l′,m∥m′”代替. l m 2.平面与平面平行判定定理的推论： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行. α β l′ m′ l m l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅， l′⊂β，m′⊂β， l∥l′，m∥m′， α∥β. 符号语言： 简记：线线平行,则面面平行. 如图所示，己知三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：面DEF//面ABC 证明：在△PAB中，因为D,E分别是PA,PB的中点，所以DE//AB. 又知DE ⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DE/∥平面ABC. 同理，EF//平面ABC. 又因为DE∩EF=E,所以由面面平行的判定定理可得 面DEF//面ABC. 例1 第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第三步：利用判定定理得出结论. 证明平面与平面平行的一般步骤为： 【提升总结】 第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面； a 解答:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行. 思考1：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 探究3 平面与平面平行的性质 ，，则 符号语言： 解答:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线不是异面关系,就是平行关系. 思考2：如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？ 思考3：当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？ 解答:两条交线平行. 证明：如图，因为 ，所以与没有公共点 又因为 ，所以 . 注意到 且 ， 所以与共面且没有公共点，即. 平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言： 简记：面面平行,则线线平行. 如图所示，已知 都是平面，且 ，两条直线分别于平面 相交于A，B，C和点D，E，F，求证： . 证明：如图所示，连接DC，设DC与平面β相交于点G, 则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG, 平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF. 因为α//β. ∴BG//AD，因此△CBG∽△CAD 同理可得 因此 ， 例2 解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD． 跟踪训练 证明：如图所示，连接B1D1． ∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点， ∴PN∥B1D1.∵