压轴题型13 新定义新情景压轴解答题-2024年高考数学压轴题专项训练（新九省专用）

压轴题型13 新定义新情景压轴解答题 命题预测 创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本精神与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创新应用等的交汇与融合，很好地融入创新意识与创新应用. 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。 2024年九省联考之后，第19题将考查新定义问题。现在也有部分地区考试采用该结构考试，比如安徽合肥一中省十联考等。预测2024年新高考试卷第19题结构考查新定义问题，压轴题，难度比较大． 高频考法 （1）集合与数列新定义 （2）函数与导数新定义 （3）立体几何与解析几何新定义 （4）概率与统计新定义 （5）高等数学背景下新定义 01 集合与数列新定义 解答新定义型创新题的基本思路是： （1）正确理解新定义； （2）根据新定义建立关系式； （3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题； （4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果． 【典例1-1】（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述集合的特征：； (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求证：中的元素个数小于． 【典例1-2】（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”． (1)若，，求； (2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7． 【变式1-1】（2024·江西上饶·二模）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且．这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束． (1)写出数列，经过6次“变换”后得到的数列； (2)若不全相等，判断数列经过不断的“变换”是否会结束，并说明理由； (3)设数列经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值． 【变式1-2】（2024·山西·模拟预测）对于数列，若存在，使得对任意，总有，则称为“有界变差数列”． (1)若各项均为正数的等比数列为有界变差数列，求其公比q的取值范围； (2)若数列满足，且，证明：是有界变差数列； (3)若，均为有界变差数列，且，证明：是有界变差数列． 02 函数与导数新定义 函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸． 【典例2-1】（2024·广西·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”. (1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； (2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程； (3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 【典例2-2】（2024·高三·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 【变式2-1】（2024·上海徐汇·二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数. (1)函数，是否为函数﹖请说明理由； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围； (3)若