重庆市荣昌中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

重庆市荣昌中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 90种 B. 30种 C. 14种 D. 11种 2. 二项式的各项系数之和为（ ） A. 512 B. C. 2 D. 3. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 4. 从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（ ） A. B. C. D. 5. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 、为对立事件 B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，直线不是曲线切线 B. 当时，函数有三个零点 C. 若有三个不同的零点，，，则 D 若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在点处的切线方程为，则______． 13. 若，则______． 14. 已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且. （1）求函数图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 16. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 17. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，E，F分别是棱PC，AB的中点. （1）证明:平面. （2）求平面PBC与平面PDF夹角余弦值. 18. 已知椭圆的上、下顶点分别为，点在上，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线的方程. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围. 重庆市荣昌中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】