25.4.2相似三角形的判定（2）用边角关系判定两三角形相似 课件 -2023-2024学年冀教版数学九年级上册

第25章 图形的相似 1 学习目标 2 课时导入 3 感悟新知 4 随堂检测 5 课堂小结 25.4相似三角形的判定 第2课时 用边角关系判定两三角形相似 1.理解“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理及证明过程，能运用该定理证明三角形相似； 2.类比全等三角形判定引出猜想，从不断变化的图形中，体会从特殊到一般的研究方法，在证明定理过程中，渗透转化思想，进一步积累研究图形问题的经验; 3.感悟数学知识之间的内在联系，提升探究问题的兴趣，激发数学学习热情. 判断两个三角形相似，你有哪些方法？ 方法1：通过定义（不常用） 方法2：通过平行线 A型 X型 方法3：两角对应相等 方法4：利用传递性 利用刻度尺和量角器画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′， =2. (1)比较∠C′与∠C（或∠B′与∠B）的大小. (2)由比较的结果，能断定△ ABC和△A′B′C′相似吗？ (3)改变对应边的比值和夹角的度数（但保持夹角相等），再画出两个三角形，它们相似吗？ 做一做 A B C A′ B′ C′ 动手操作、测量、比较 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 即若∠A=∠A′， =k ，则△ABC∽ △A′B′C′. 你能给出证明吗？ 归纳猜想 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中， ，∠A=∠A′， 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：如图，在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E. ∴△ABC∽△ADE，∴ ， 又∵ ，AD=A′B′，∴ ， ∴AE=A′C′，∵∠A=∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′. 对于△ABC与△A′B′C′，如果 ，∠B=∠B′，这两个三角形相似吗？试着画画看. 辨析 A B C A′ B′ C′ A′ B′ C′ 两个三角形相似 两个三角形不相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 特别提醒: 运用该定理判定相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS 的方法. 知识点 相似三角形的判定定理2 1 A′ B′ C′ A B C 几何语言： ∵ ，∠A=∠A′, ∴△ABC∽△A′B′C′. 知识点 相似三角形的判定定理2 1 已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝60°， AB＝4 cm，AC＝8 cm，A′B′＝11 cm，A′C′＝22 cm. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 又∵ ∠A＝∠A′＝60°， ∴△ABC∽△A′B′C′. 证明： 例1 利用三角形两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法： 1.首先找出两个三角形中相等的那个角； 2.再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边； 3.最后看这两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似． F A B C D E 3 2 如图，在△ABC中，CD∥EF，AF=1，AD=3，AE=2． （1）求AC的长； （2）若AB=9，求证：△ABC∽△ADE． 解：（1）∵CD∥EF， ∴ ， ∵AF=1，AD=3，AE=2， ∴ ，∴AC=6； （2）证明：∵AD=3，AB=9， AE=2，AC=6，∴ ， ∵∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE． 例2 1 如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8，在AC上取一点D，使AD＝3，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，求AE的长． 点拨：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，夹这对角的两边对应成比例．但两边的对应关系无法确定，所以应分两种情况考虑． 例3 解：设AE的长为x. ∠A是公共角，要使△ADE和△ABC相似，则有 即 解得x＝6或x＝1.5. 所以AE的长为6或1.5. 要使两个三角形相似，若已知有一对角相等，则 需夹这对角的两边对应成比例．当无法确定对应关系时，则夹这对角的两边的比就有两种情况的可能，因此必须进行分类讨论；否则就会因漏解而致错． 演练 【答案】D B ①②③ 结构导图 相似三角形的判定方法 定