课时作业(十七)向量与垂直-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性选修第二册

课时作业(十七)　向量与垂直 练 基 础 1.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为(　　) A．a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0) B．a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1) C．a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1) D．a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0) 2．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于________． 4．如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，O是AC与BD的交点，M是CC1的中点．求证：A1O⊥平面MBD. 提 能 力 5. 如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中， 过点A且与直线BD1垂直的所有面对角线的条数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A．(1，0，－2)　 B．(1，0，2) C．(－1，0，2)　　 D．(2，0，－1) 7．在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3，－2，1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，则x的值为________． 8. 如图所示在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是PC的中点． 求证：PD⊥平面ABE. 9．如图所示，在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，点E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 培 优 生 10. 如图，在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________. 11．在四棱锥P ­ ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由． 课时作业(十七)　向量与垂直 1．解析：因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B. 答案：B 2．解析：由平面α的法向量为a，平面β的法向量为b， ∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5. 答案：D 3．解析：因为a⊥b，故a·b＝0， 即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10. 答案：10 4. 证明：建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的边长为2，则D(0，0，0)，O(1，1，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)， ＝(1，－1，2)，＝(2，2，0)，＝(0，2，1).·＝0，·＝0，∴DB⊥OA1，DM⊥A1O. 由于DB∩DM＝D，所以A1O⊥平面MBD. 5. 解析：过点A的面对角线一共有三条，AC，AD1，AB1，连接AC，AD1，AB1，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D1(0，0，1)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，其中＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，1，1)，·＝(－1，－1，1)·(－1，0，1)＝2， ·＝(－1，－1，1)·(－1，1，0)＝0， ·＝(－1，－1，1)·(0，1，1)＝0，故BD1与AC，AB1垂直，与AD1不垂直，故答案为2条． 答案：C 6．解析：由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，　① ·＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0， 得2x＋z＝0，　② 联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2). 答案：C 7．解析：∵A(－3，－2，1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)， ∴＝(2，1，－2)，＝(－4，x＋1，1)，＝(－2，x＋2，－1)， 分三种情况： ①A为直角，·＝0， ∴－4＋x＋2＋2＝0，∴x＝0； ②B为直角，·＝0， ∴－8＋x＋1－2＝0，∴x＝9； ③C为直角，·＝0， ∴8＋(x＋1)(x＋2)－1＝0，x2＋3x＋9