第3章 空间向量及其应用（单元基础卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第3章 空间向量及其应用（单元基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．已知向量，，若，则的值为 　　． 2．已知向量，，，，1，，若，则　　． 3．设直线的一个方向向量，2，，平面的一个法向量，8，，则直线与平面的位置关系是 　　． 4．设，，是空间中的三个向量，且共面，则　　． 5．，0，，，3，，则在方向上的数量投影为 　　． 6．已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 　　． 7．若和都是平面的法向量，则和的关系是 　　． 8．已知空间向量，2，，，，，，，．若、、、四点共面，则　　． 9．已知为空间任意一点，、、、满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为 　　． 10．已知棱长为1的正四面体中，为中点，则　　． 11．已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 　　． 12．在正方体中，，为棱的中点，则与平面所成角的正切值为 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．已知结论：椭圆的面积为．如图，一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆．若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，错误的是　　 A．短轴为，且与大小无关 B．离心率为，且与大小无关 C．焦距为 D．面积为 14．如图，在四面体中，，，．点在上，且，为的中点，则　　 A． B． C． D． 15．已知向量，，则　　 A．，0， B．，16， C．，， D．，0， 16．空间向量在上的投影向量为　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知空间中三点，0，、，，、，0，，设，． （1）若，且，求向量； （2）求以、为一组邻边的平行四边形的面积． 18．如图，在三棱柱中，，为的中点，，． （1）求证：平面； （2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，点是棱上的一点，平面． （1）求证：点是棱的中点； （2）若平面，，，与平面所成角的正切值为，求二面角的大小． 20．在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． （1）若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； （2）设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值． 21．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动．处有一栋大楼，某学生选、（与在同一水平面上）两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼（大楼与水平面垂直）楼顶的仰角为． （1）求，两点间的距离； （2）求大楼的高度及二面角的正切值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 空间向量及其应用（单元基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．已知向量，，若，则的值为 　　． 【分析】根据向量共线定理的坐标式，建立方程，即可求解． 【解答】解：，且，， ， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查向量共线定理的坐标式，方程思想，属基础题． 2．已知向量，，，，1，，若，则　　． 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：向量，，，，1，，， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 3．设直线的一个方向向量，2，，平面的一个法向量，8，，则直线与平面的位置关系是 　或　． 【分析】根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得，即，由此分析可得答案． 【解答】根据题意，直线的一个方向向量，2，，平面的一个法向量，8，， 则，即，则有或； 故答案为：或． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及平面法向量的定义，属于基础题． 4．设，，是空间中的三个向量，且共面，则　4　． 【分析】根据题意设，利用的坐标建立关于、的方程组，进而算出的值． 【解答】解：根据共面，可知存在、，使成立， 因为，，，所以，可得． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查空间向量共面的条件、向量的坐标运算法则等知识，考查了计算能力，属于基础题． 5．，0，，，3，，则在方向上的数量投影为 　　． 【分析】根据投影的计算公式计算即可． 【解答】解：，， 在方向上的投影数量为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了投影的计算公式，向量坐标的数量积运算，是基础题． 6．已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 　，，　． 【分析】直接利用向量的夹角运算求