专题4.6 用十字相乘法和分组分解法进行因式分解（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.6 用十字相乘示和分组分解法进行因式分解 （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 特别提醒： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 【知识点二】首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别提醒：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【知识点三】分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别提醒：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 【知识点四】添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【考点目录】 【考点1】运用分组分解法进行因式分解； 【考点2】十字相乘法进行因式分解； 【考点3】运用添拆项法进行因式分解； 【考点4】因式分解的应用； 【考点1】运用分组分解法进行因式分解； 【例1】（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： （1） ； （2） ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用分组分解法分解即可； （2）用分组分解法分解即可． 解：（1）原式 （2）原式 【变式1】（22-23八年级上·全国·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 解： 故选：D． 【点拨】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 【变式2】（2019·内蒙古呼和浩特·一模）分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝ ． 【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中a2+b2﹣2ab正好符合完全平方公式，应考虑为一组． 解：a2﹣1+b2﹣2ab ＝（a2+b2﹣2ab）﹣1 ＝（a﹣b）2﹣1 ＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 故答案为（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 【点拨】此题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解． 【考点2】运用十字相乘法进行因式分解； 【例2】（2024上·北京东城·八年级统考期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式