第3章 第1讲 导数的概念及运算（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第1讲　导数的概念及运算 课标要求 考情分析 1．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 考点考法：高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容，考查形式以选择题、填空题为主，属于中档题． 核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象． [对应学生用书P54] 1．变化率问题 (1)变化率的概念 ①定义：＝； ②作用：刻画函数值在区间[x0，x1]上变化的快慢； ③几何意义：已知P1(x0，y0)，P2(x1，y1)是函数y＝f(x)图象上的两点，则＝，平均变化率表示割线P1P2的斜率． [导学点清]　Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝＝. 2．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个__固定的值__，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个__固定的值__称为y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝____． [导学点清]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. (2)导函数 当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝. (3)导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处__切线的斜率__，即k＝＝f′(x0). 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 y＝c(c为常数) y′＝__0__ y＝xα(α是实数) y′＝__αxα－1__ y＝sin x y′＝__cos_x__ y＝cos x y′＝__－sin_x__ y＝ex y′＝__ex__ y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝__ax_ln_a__ y＝ln x y′＝____ y＝loga x (a＞0，a≠1) y′＝____ 4．导数的运算 (1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__． (2)[f(x)g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__． (3)′＝____(g(x)≠0). (4)复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝φ(x)复合而成的函数y＝f(φ(x))，它的导数为y′x＝__f′(u)φ′(x)__． 1．下列求导运算正确的是(　　) A．(sin a)′＝cos a(a为常数) B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．()′＝ 解析　由a为常数知(sin a)′＝0，A错误；(3x)′＝3x ln 3，C错误；(log2x)′＝，B正确；()′＝[(x＋1)]′＝(x＋1)＝，D错误．故选B. 答案　B 2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒　　　　 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 解析　因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒． 答案　C 3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 ＝________． 解析　由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2. 答案　－2 4．(不能掌握复合函数的求导法则致误)已知函数y＝sin 2x，则y′＝________． 解析　法一　y′＝(2sin x cos x)′＝2(sin x)′cos x＋2sin x(cos x)′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. 法二　y′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x. 答案　2cos 2x 5．(混淆“在”与“过”的区别致误)已知函数f(x)＝x3＋x－16，若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，则直线l的方程为____________________． 解析　设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，因为直线l过原点，所以0＝(3x＋1)(0－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，所以x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，f′(x0)＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l的方程为y＝13x. 答案　y＝13x 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x). 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 1．(2024·淮安模拟) 函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析　 过点A作切线lA，过点B作切线lB，连接AB，得到直线lAB，由图可知，lA的斜率＞lAB的斜率＞lB的斜率，即f′(2)＞＞f′(3)＞0，所以0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故选B. 答案　B 2．(2024·德州模拟)已知函数f(x)满足以下三个条件：①f(x)的导函数f′(x)为奇函数；②f(0)≠0；③在区间[－2，－1]上单调递增，则f(x)的一个解析式为f(x)＝________． 解析　由条件①知f(x)为偶函数，可设f(x)＝ax2＋c，因为f(0)≠0，所以c≠0，又f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，所以a＜0，因此f(x)＝－x2＋1或f(x)＝－2x2＋3等均可． 答案　－x2＋1(答案不唯一) [对应学生用书P56] 考点一　导数的运算(基础考点　自练自悟) 1．(多选)下列求导数正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C．′＝ D．(2x＋cos x)′＝2x ln 2－sin x 解析　对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确； 对于C，′＝＝，故C错误； 对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确． 答案　ABD 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于(　　) A．1　　　　　　　 B．－9 C．－6 D．4 解析　因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6. 答案　C 3．求下列函数的导数． (1)y＝； (2)y＝ln ； (3)y＝1＋cos2x. 解析　(1)因为y＝＝＝2－， 所以y′＝′＝′＝. (2)因为y＝ln ＝ln (1＋2x)， 所以y′＝··(1＋2x)′＝. (3)因为y＝1＋cos2x＝1＋＝＋cos 2x， 所以y′＝′＝－sin 2x·(2x)′＝－sin 2x. 考点二　导数的几何意义(多维探究　师生共研) 角度1　求切线方程 　(1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，____________． [解析]　(1)设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)， 因为y＝， 所以y′＝＝， 所以k＝y′|x＝1＝， 所以y－＝(x－1)， 所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. (2)当x>0时，点(x1，ln x1)(x1>0)上的切线为y－ln x1＝(x－x1).若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x＝e，此时切线方程为y＝. 当x<0时，点(x2，ln (－x2))(x2<0)上的切线为y－ln (－x2)＝(x－x2).若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x＝－e，此时切线方程为y＝－. [答案]　(1)C　(2)y＝　y＝－ 求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0). (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 角度2　求参数的值(范围) 　(2024·大连市双基测试)若直线y＝ax－3为函数f(x)＝ln x－图象的一条切线，则a的值是________． [解析]　设切点为，其中x0＞0，因为f′(x)＝＋，所以f′(x0)＝＋，所以过点的切线方程为y－＝(x－x0)，即y＝x－1－＋ln x0，因为切线为y＝ax－3，所以a＝＋，－3＝－1－＋ln x0，所以x0＝1，a＝2. [答案]　2 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 1．已知函数f(x)＝(2x－a)ex，且f′(1)＝3e，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x－3y＋1＝0 D．x＋3y＋1＝0 解析　因为f′(x)＝2ex＋(2x－a)ex＝(2x＋2－a)ex， 所以f′(1)＝(4－a)e＝3e，解得a＝1， 即f(x)＝(2x－1)ex，f(0)＝－1， 则f′(x)＝(2x＋1)ex， 所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝1×(x－0)，即x－y－1＝0. 答案　B 2．过点(0，－1)作曲线f()＝ln x(x＞0)的切线，则切点坐标为________． 解析　由题意得f(x)＝ln x2＝2ln x，则f′(x)＝，设切点坐标为(x0，2ln x0)，显然(0，－1)不在曲线f(x)上，则＝，解得x0＝，则切点坐标为(，1). 答案　(，1) 考点三　两曲线的公切线(重难考点　师生共研) 　(1)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________． (2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为________． [解析]　(1)因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2. 所以曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行). 由消去y，得ax2＋ax＋2＝0. 由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. (2)设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝ex1，f′(x)＝ex， 所以f′(x1)＝，所以切点为(x1，)，切线斜率k＝， 所以切线方程为y－＝ (x－x1)， 同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)， 所以y2＝ln x2＋2，又g′(x)＝，所以g′(x2)＝， 所以切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝， 所以切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2＋1，② 由题意知，①与②相同， 把③代入④有－x1＋＝－x1＋1， 即(1－x1)( －1)＝0， 解得x1＝1或x1＝0， 当x1＝1时，切线方程为y＝ex； 当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1. 综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1. [答案]　(1)8　(2)y＝ex或y＝x＋1 解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． (2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(　　) A．2 B．5 C．1 D．0 解析　设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点(a，b)，其中a＞0， 由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x， 则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a， 由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1， 则切线的斜率为k＝g′(a)＝－－1， 因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同， 所以－4a＝－－1， 解得a＝1或a＝－(舍去)， 又由g(1)＝－1， 即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1. 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $$