教考衔接1 比较大小有方法（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

　比较大小有方法 [对应学生用书P52] 一、真题展示 1．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b　　　　 B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 2．(2020·全国卷Ⅲ)已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 二、真题溯源与解法探究 1．真题溯源 (教科书原题改变)比较下列三个值的大小：log23，log34，log45. 教科书原题与真题虽然题目不同，但实质均为对数比较大小类问题．该类问题的设置主要考查数学运算、逻辑推理核心素养及必备的理性思维及数学探究能力．求解此类问题的一般思路为：(1)同底但不同真数，可通过构造函数，利用单调性比较；(2)同真数但不同底，可通过作函数图象或换底公式转化解决；(3)真数不同底数也不同的，可将其转化为(1)(2)两种情况或借助中间量(如“1”“0”等)比较． 此类试题简捷朴实，但蕴含着丰富的数学思想方法，对学生的理性思维素养要求较高，有很高的拓广探究价值． 2．解法探究 法一(比较法) (1)比差法：log23－log34＝， ∵ln 2·ln 4＜＝(ln )2＜(ln 3)2， ∴log23－log34＞0. log34－log45＝， ∵ln 3·ln 5＜＝(ln )2＜(ln 4)2， ∴log34－log45＞0. 综上有log23＞log34＞log45. (2)比商法：＝＝＝＞1，＝＝＝＞1，综上有log23＞log34＞log45. 比较法是我们比较大小最常用的方法，换底通分后可以使用对数的运算法则，其中比差法的难点是利用基本不等式对式子进行放缩重构，从而使两项合为一项，达到比较大小的目的． 法二(综合法)　 ∵当n＞1时，lg n·lg (n＋2)＜＝＜＝lg2(n＋1)，即lg n·lg (n＋2)＜lg2(n＋1)，∴＞，即logn(n＋1)＞log(n＋1)(n＋2)，∴取n＝2和3可得log23＞log34＞log45. 通过把比较三个对数值的大小上升为比较logn(n＋1)和log(n＋1)(n＋2)的大小，再利用基本不等式和放缩法确定大小关系． 法三(等价转化法)　 不妨先证：log23＞log34⇔证log827＞log916，∵log827＞log927＞log916，∴log23＞log34，再证log34＞log45⇔证log2431 024＞log256625，∵log2431 024＞log2561 024＞log256625，∴log34＞log45.综上有log23＞log34＞log45. 通过对数运算性质等价变换提升数据的策略，使两个数据变为接近而又立见分晓的数值，其难度是如何提升数据，即将底数、真数同乘以某个数(扩大相同的倍数)，如log23→log827，log34→log916，这些数据提升的“度”都需要良好的数感、目标意识以及大胆的探索精神． 法四(中间值法)　 ∵log23＞log22＝，log34＜log33⇔42＜33，∴log34＜，∵log34＞log33⇔36＜45，∴log34＞，∴＜log34＜，∵log45＝log2＜log22⇔25＜26，∴log45＜.综上有log23＞log34＞log45. 中间值法是我们常见的求解对数大小比较的方法，对于既不同底也不同真数的对数，其中间值的寻找不仅依靠数感、经验、估算以及逻辑推理，还需要不断的尝试，可能比较难以发现． 三、高考还可这样考 1．已知＝log3a，3b＝logb，＝logc，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析　在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝，y＝log3x，y＝3x，y＝logx的大致图象，如图所示． 因为＝log3a，3b＝logb，＝logc，所以a是y＝与y＝log3x图象交点的横坐标；b是y＝3x与y＝logx图象交点的横坐标；c是y＝与y＝logx图象交点的横坐标．由图象可得b＜c＜a.故选C. 答案　C 2．(多选)已知正数x，y，z满足3x＝4y＝12z，则(　　) A.6z＜3x＜4y B．＋＝ C．x＋y＞4z D．xy＜4z2 解析　由题意，可令3x＝4y＝12z＝m(m＞1)，由指数对数互化得log3m＝x，log4m＝y，log12m＝z，由换底公式得：＝logm3，＝logm4，＝logm12，则有＋＝，故选项B错误；因为－＝logm12－logm9＝logm＞0，所以x＞2z，又－＝logm81－logm64＝logm＞0，所以4y＞3x，所以4y＞3x＞6z，故选项A正确；因为＋＝，所以z＝，xy＝z(x＋y)，所以4z2－xy＝＝－＜0，所以xy＞4z2，则z(x＋y)＞4z2，即x＋y＞4z，故选项C正确，选项D错误．故选AC. 答案　AC 学科网（北京）股份有限公司 $$