第2章 第10讲 实际问题中的函数模型（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第10讲　实际问题中的函数模型 课标要求 考情分析 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用． 考点考法：高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，常以选择题形式出现． 核心素养：直观想象、数学运算、数学建模． [对应学生用书P48] 1．六种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) “对勾”函 数模型 y＝x＋(a为常数，a＞0) [导学点清]　函数模型应用问题的步骤(四步八字方针)：审题，建模，解模，还原． 2．三种函数模型性质比较 类别 函数模型 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的单调性 __增函数__ __增函数__ __增函数__ 增长速度 __越来越快__ __越来越慢__ 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与__y轴__接近平行 随x值增大，图象与__x轴__接近平行 随n值变化而不同 [导学点清]　幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长速度的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． 1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 解析　y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D. 答案　D 2．在某个物理实验中，测量出变量x和变量y的几组数据如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D. 答案　D 3．(对函数增长速度认识不清致误)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 解析　由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x).故选B. 答案　B 4．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元． 解析　因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值，即该商品的日利润最大时，当日售价为150元． 答案　150 5．某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y(单位：℃)与经过时间t(单位：min)的函数关系是y＝kat＋y0，其中a为衰减比例，y0是室温，t＝0时，y为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a＝，茶水初始温度为100 ℃，则k＝________，产生最佳口感所需时间是________min. 解析　由题意，y＝kat＋20，当t＝0时，y＝k＋20＝100，解得k＝80，则y＝80at＋20，当y＝60时，即80at＋20＝60，则at＝，即，所以t＝8. 答案　80　8 [对应学生用书P49] 考点一　用函数图象刻画变化过程(基础考点　自练自悟) 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　) 解析　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产量不变，因此A正确． 答案　A 2．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 解析　水匀速流出，所以鱼缸水深h先降很快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快． 答案　B 3．如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当点P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象的形状大致是(　　) 解析　当点P在AB上时，y＝×x×1＝x，0≤x≤1； 当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－x＋，1＜x≤2； 当点P在CM上时，y＝××1＝－x＋，2＜x≤. 由函数可知，有三段直线，又当点P在BC上时是减函数，故选A. 答案　A 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案． 考点二　已知函数模型求解实际问题(重难考点　师生共研) 　(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2　　　　　　　 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 [解析]　由题意可知：∈，∈，Lp3＝40， 对于选项A：可得－＝20×lg －20×lg ＝20×lg ， 因为≥Lp2，则－＝20×lg ≥0，即lg ≥0， 所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确； 对于选项B：可得－＝20×lg －20×lg ＝20×lg ， 因为－＝－40≥10，则20×lg ≥10，即lg ≥， 所以≥且p2，p3>0，可得p2≥p3， 当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为＝20×lg ＝40，即lg ＝2， 可得＝100，即p3＝100p0，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：－＝20×lg ， 且－≤90－50＝40，则20×lg ≤40， 即lg ≤2，可得≤100，且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. [答案]　ACD 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下________的污染物． 解析　设初始污染物数量为P′， 则 两式相除得e3k＝3. 所以8 h后，P＝P0·e－8k＝e－3k·P0·e－5k＝·P′＝P′， 即还剩下×100%＝10%的污染物． 答案　10% 考点三　构建函数模型解决实际问题(多维探究　师生共研) 角度1　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元).每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元． 依题意得，当0<x<8时， L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)当0<x<8时，L(x)＝－(x－6)2＋9， 即当x＝6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元； 当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10时等号成立， 即当x＝10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元． 因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中，得到实际问题的解．即： 角度2　构建指数函数、对数函数模型 　一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有疗效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到0.1 h)(　　) A．4.2 h B．2.3 h C．8.8 h D．7.2 h [解析]　设应在病人注射这种药经过x h后再次向病人注射这种药，则血液中的含药量y(单位：mg)与注射后的时间x的关系式为y＝2 500(1－20%)x，由题意可得2 500(1－20%)x＞1 500，整理可得＞，所以log＜log，即x＜log.由log＝log＝＝＝≈≈2.3，所以x＜2.3，故从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为2.3 h，才能保持疗效．故选B. [答案]　B 指数(对数)函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 1．运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)，假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油L，司机的工资是每小时46元．则这次行车的总费用的最低值是________元． 解析　行车所用时间t＝ h，根据汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油L，司机的工资是每小时46元， 可得行车总费用为y＝×6×＋＝＋(50≤x≤100). y＝＋≥2·＝600，当且仅当＝，即x＝70时，等号成立． 所以当x＝70时，这次行车的总费用y最低，最低费用为600元． 答案　600 2．为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL，小于80 mg/100 mL的驾驶行为为酒后驾车，80 mg/100 mL及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100 mg/100 mL.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过________个小时才能驾驶汽车．(参考数据：lg 5≈0.7，lg 7≈0.85) 解析　设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100(1－30%)x＜20，所以0.7x＜0.2. 又y＝0.7x为减函数， 所以x＞log0.70.2＝＝＝＝≈≈4.7， 所以他至少经过4.7个小时才能驾驶汽车． 答案　4.7 学科网（北京）股份有限公司 $$